Verifique se são independentes as variáveis aleatórias X e Y cuja função de densidade é dada por
se
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função de densidade conjunta dada por:
Queremos verificar se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de densidades marginais e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Para determinar se
e
são independentes, precisamos verificar se a função de densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais de
e
. Ou seja, precisamos checar se:
Se essa igualdade for verdadeira para todos os valores de
e
, então as variáveis são independentes.
Passo 3
Vamos começar encontrando a densidade marginal de
, que é denotada por
. Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de
, denotada por
. Integramos a função de densidade conjunta em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 5
Com as densidades marginais encontradas, vamos verificar a condição de independência:
Compare isso com a função de densidade conjunta:
Claramente,
para todos os
e
no intervalo considerado.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
não são independentes.