Verifique se são independentes as variáveis aleatórias X e Y cuja função de densidade é dada por se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, e , com uma função de densidade conjunta dada por:
Queremos verificar se e são independentes. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de densidades marginais e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Para determinar se e são independentes, precisamos verificar se a função de densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais de e . Ou seja, precisamos checar se:
Se essa igualdade for verdadeira para todos os valores de e , então as variáveis são independentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de , que é denotada por . Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a :
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de , denotada por . Integramos a função de densidade conjunta em relação a :
Calculando a integral:

Passo 5

Com as densidades marginais encontradas, vamos verificar a condição de independência:
Compare isso com a função de densidade conjunta:
Claramente, para todos os e no intervalo considerado.

Resposta

As variáveis aleatórias e não são independentes.

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Se escolhermos aleatoriamente apenas dígitos das casas decimais do exemplo acima, qual a probabilidade de obtermos um número par ou um número múltiplo de 3 ?
a)
b)
C)
d)
e)
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  • Capacidade: 1 MW
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  • A probabilidade de retirar uma carta de naipe ouros é igual a 0,25.
  • A probabilidade de retirar uma carta 7 ou naipe ouros é igual a 0,30. Quantas cartas x faltam para completar o baralho?
    a) 10
    b) 11
    c) 12
    d) 13
    e) 14
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