Verifique se são independentes as variáveis aleatórias X e Y cuja função de densidade é dada por
se
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função de densidade conjunta dada por:
Queremos verificar se
e
são independentes. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de densidades marginais e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Para determinar se
e
são independentes, precisamos verificar se a função de densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais de
e
. Ou seja, precisamos checar se:
Se essa igualdade for verdadeira para todos os valores de
e
, então as variáveis são independentes.
Passo 3
Vamos começar encontrando a densidade marginal de
, que é denotada por
. Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de
, denotada por
. Integramos a função de densidade conjunta em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 5
Com as densidades marginais encontradas, vamos verificar a condição de independência:
Compare isso com a função de densidade conjunta:
Claramente,
para todos os
e
no intervalo considerado.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
não são independentes.
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. Essa ferramenta é muito útil para quem estuda e trabalha com Eventos Aleatórios, pois os dígitos que aparecem na formação desse número não seguem nenhuma regra definida. A seguir, temos uma representação com 30 casas decimais.
Se escolhermos aleatoriamente apenas dígitos das casas decimais do exemplo acima, qual a probabilidade de obtermos um número par ou um número múltiplo de 3 ?
a)
b)
C)
d)
e)
a)
b)
C)
d)
e)
Comparação de Investimentos em Energia Renovável
Uma empresa está avaliando a instalação de duas usinas de geração de energia renovável em Santarém: uma usina solar fotovoltaica e uma usina eólica. Ambas as usinas têm uma vida útil de 20 anos e as condições de investimento e produção são as seguintes:
Uma empresa está avaliando a instalação de duas usinas de geração de energia renovável em Santarém: uma usina solar fotovoltaica e uma usina eólica. Ambas as usinas têm uma vida útil de 20 anos e as condições de investimento e produção são as seguintes:
- Usina Solar Fotovoltaica:
- Capacidade: 1 MW
- Produção anual estimada: 1.500 MWh
- Tarifa média de venda de energia: R$ 0,30/kWh
- Investimento inicial: R$ 2.000.000,00
- Custos operacionais anuais: R$50.000,00
- Usina Eólica:
- Capacidade: 1,2 MW
- Produção anual estimada: 2.000 MWh
- Tarifa média de venda de energia: R$ 0,25/kWh
- Investimento inicial: R$ 3.000.000,00
- Custos operacionais anuais:
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- A probabilidade de retirar uma carta 7 é igual a 0,075.
- A probabilidade de retirar uma carta de naipe ouros é igual a 0,25.
- A probabilidade de retirar uma carta 7 ou naipe ouros é igual a 0,30. Quantas cartas x faltam para completar o baralho?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Cálculo do Índice de Lucratividade (IL)
Interprete o resultado obtido para o Índice de Lucratividade. O que ele indica sobre a rentabilidade do projeto?
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