Verifique se são independentes as variáveis aleatórias X e Y cuja função de densidade é dada por f(x, y)=1y se 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, f(x, y) = 1y se 0 < x < y < 1 e , com uma função de densidade conjunta dada por:
Queremos verificar se e são independentes. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de densidades marginais e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Para determinar se f(x, y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes, precisamos verificar se a função de densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais de e . Ou seja, precisamos checar se:
Se essa igualdade for verdadeira para todos os valores de e , então as variáveis são independentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de fX(x) = integralx^1 f(x, y) , dy = integralx^1 1y , dy , que é denotada por fX(x) = [ ln y ]x^1 = ln(1) - ln(x) = -ln(x) . Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a :
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de fY(y) = integral0^y f(x, y) , dx = integral0^y 1y , dx , denotada por fY(y) = 1y cdot y = 1 . Integramos a função de densidade conjunta em relação a :
Calculando a integral:

Passo 5

Com as densidades marginais encontradas, vamos verificar a condição de independência:
fX(x) cdot fY(y) = (-ln(x)) cdot 1 = -ln(x)
Compare isso com a função de densidade conjunta:
f(x, y) = 1y
Claramente, para todos os e no intervalo considerado.

Resposta

As variáveis aleatórias e não são independentes.

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