Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . Precisamos verificar se essa função é uma função de densidade de probabilidade e, em seguida, calcular a probabilidade .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta. Vamos precisar garantir que:
  1. Todos os valores de sejam maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todas as probabilidades seja igual a 1.
  3. Calcular a soma das probabilidades para até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se todos os valores de são maiores ou iguais a zero.
A função é . Como e são números positivos, e também é positivo para qualquer , concluímos que para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades é igual a 1. Isso é essencial para que seja uma função de densidade de probabilidade válida.
Calculamos a soma de para até :
Podemos fatorar :
Reconhecemos que isso é uma série geométrica com razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo :
Então, a soma total é:
Como a soma das probabilidades é 1, a função satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade . Isso significa somar as probabilidades de ser 0, 1 ou 2.
Vamos calcular cada termo:
Somando esses valores:
Para somar frações, encontramos um denominador comum. O menor múltiplo comum de 4, 16 e 64 é 64:
Então:

Resposta

A probabilidade é .

Exercícios relacionados

Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
-2 -1 0 1 2
Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
Para que serve um Organograma? (até 3 linhas)