Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas: f(x)=(34)(14)^x, x=0,1,2, cdots
P(X <= 2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . Precisamos verificar se essa função é uma função de densidade de probabilidade e, em seguida, calcular a probabilidade .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta. Vamos precisar garantir que:
  1. Todos os valores de sejam maiores ou iguais a zero.
  2. A soma de todas as probabilidades seja igual a 1.
  3. Calcular a soma das probabilidades para até 2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se todos os valores de são maiores ou iguais a zero.
A função é . Como e são números positivos, e também é positivo para qualquer , concluímos que para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades sumx=0^infty f(x) = sumx=0^infty (34)(14)^x é igual a 1. Isso é essencial para que 34 sumx=0^infty (14)^x seja uma função de densidade de probabilidade válida.
Calculamos a soma de sumx=0^infty r^x = 11 - r para sumx=0^infty (14)^x = 11 - 14 = 134 = 43 até 34 times 43 = 1 :
Podemos fatorar :
Reconhecemos que isso é uma série geométrica com razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo :
Então, a soma total é:
Como a soma das probabilidades é 1, a função satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade P(X <= 2) = f(0) + f(1) + f(2) . Isso significa somar as probabilidades de f(0) = (34)(14)^0 = 34 times 1 = 34 ser 0, 1 ou 2.
f(1) = (34)(14)^1 = 34 times 14 = 316
Vamos calcular cada termo:
f(2) = (34)(14)^2 = 34 times 116 = 364
P(X <= 2) = 34 + 316 + 364
34 = 4864, 316 = 1264, 364 = 364
Somando esses valores:
P(X <= 2) = 4864 + 1264 + 364 = 6364
Para somar frações, encontramos um denominador comum. O menor múltiplo comum de 4, 16 e 64 é 64:
Então:

Resposta

A probabilidade é .

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