Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida para
. Precisamos verificar se essa função é uma função de densidade de probabilidade e, em seguida, calcular a probabilidade
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta. Vamos precisar garantir que:
- Todos os valores de
sejam maiores ou iguais a zero. - A soma de todas as probabilidades
seja igual a 1. - Calcular a soma das probabilidades para
até 2.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se todos os valores de
são maiores ou iguais a zero.
A função é
. Como
e
são números positivos, e
também é positivo para qualquer
, concluímos que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades
é igual a 1. Isso é essencial para que
seja uma função de densidade de probabilidade válida.
Calculamos a soma de
para
até
:
Podemos fatorar
:
Reconhecemos que isso é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo
:
Então, a soma total é:
Como a soma das probabilidades é 1, a função
satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade
. Isso significa somar as probabilidades de
ser 0, 1 ou 2.
Vamos calcular cada termo:
Somando esses valores:
Para somar frações, encontramos um denominador comum. O menor múltiplo comum de 4, 16 e 64 é 64:
Então:
Resposta
A probabilidade
é
.
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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