Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , onde , é uma função de densidade de probabilidade. Depois, queremos encontrar a probabilidade de ser igual a 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade e como calcular probabilidades em distribuições discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade de probabilidade para variáveis discretas. Basicamente, para que seja uma função de densidade válida, dois critérios devem ser atendidos:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Soma total igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os valores de deve ser igual a 1.
Vamos verificar esses dois pontos para a função dada.

Passo 3

Verificando a não-negatividade:
A função é composta por potências de , que são sempre positivas para qualquer valor de . Além disso, também é positivo. Portanto, para todo .

Passo 4

Verificando a soma total igual a 1:
Precisamos calcular a soma de para todos os valores de de 0 a infinito:
Essa é uma série geométrica onde a razão . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é:
Aqui, e . Então:
Portanto, a soma total é igual a 1.

Passo 5

Como a função atende aos dois critérios (não-negatividade e soma total igual a 1), podemos afirmar que ela é uma função de densidade de probabilidade válida.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de ser igual a 2, ou seja, .
Usamos simplesmente a função para :
Calculando:

Resposta

A probabilidade de é .

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