Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
, onde
, é uma função de densidade de probabilidade. Depois, queremos encontrar a probabilidade de
ser igual a 2, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade e como calcular probabilidades em distribuições discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade de probabilidade para variáveis discretas. Basicamente, para que
seja uma função de densidade válida, dois critérios devem ser atendidos:
- Não-negatividade:
para todo . - Soma total igual a 1: A soma de todas as probabilidades
para todos os valores de deve ser igual a 1.
Vamos verificar esses dois pontos para a função dada.
Passo 3
Verificando a não-negatividade:
A função
é composta por potências de
, que são sempre positivas para qualquer valor de
. Além disso,
também é positivo. Portanto,
para todo
.
Passo 4
Verificando a soma total igual a 1:
Precisamos calcular a soma de
para todos os valores de
de 0 a infinito:
Essa é uma série geométrica onde a razão
. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é:
Aqui,
e
. Então:
Portanto, a soma total é igual a 1.
Passo 5
Como a função
atende aos dois critérios (não-negatividade e soma total igual a 1), podemos afirmar que ela é uma função de densidade de probabilidade válida.
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de
ser igual a 2, ou seja,
.
Usamos simplesmente a função
para
:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de
é
.
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