Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas: f(x)=(34)(14)^x, x=0,1,2, cdots
P(X >= 1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente verificar se a função para é uma função de densidade de probabilidade e depois calcular a probabilidade . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma função de densidade de probabilidade. Para que uma função seja uma função de densidade de probabilidade, dois critérios precisam ser atendidos:
  1. Não-negatividade: Para todo , deve ser maior ou igual a zero.
  2. Soma total igual a 1: A soma de para todos os valores possíveis de deve ser igual a 1.
Vamos conferir cada um desses critérios.

Passo 3

1. Não-negatividade:
A função dada é sumx=0^infty f(x) = sumx=0^infty (34)(14)^x .
  • 34 sumx=0^infty (14)^x é positivo.
  • sumx=0^infty (14)^x = 11 - 14 = 134 = 43 também é positivo para qualquer valor de 34 times 43 = 1 não negativo (que é o caso aqui, já que ).
Portanto, para todos os .
2. Soma total igual a 1:
Precisamos somar para todos os possíveis e ver se isso dá 1.
Podemos fatorar o :
A soma é uma série geométrica que converge para quando . Aqui, , então:
Multiplicando pelo :
Então, a soma total é 1.

Passo 4

Como os dois critérios foram atendidos, podemos concluir que P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) é realmente uma função de densidade de probabilidade.
Agora, vamos calcular a probabilidade P(X = 0) = (34)(14)^0 = 34 times 1 = 34 . Isso significa a probabilidade de P(X >= 1) = 1 - 34 = 14 ser pelo menos 1, ou seja, .
Uma maneira fácil de calcular essa probabilidade é usar o fato de que:
Vamos calcular :
Então:

Resposta

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