Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente verificar se a função
para
é uma função de densidade de probabilidade e depois calcular a probabilidade
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma função de densidade de probabilidade. Para que uma função seja uma função de densidade de probabilidade, dois critérios precisam ser atendidos:
- Não-negatividade: Para todo
, deve ser maior ou igual a zero. - Soma total igual a 1: A soma de
para todos os valores possíveis de deve ser igual a 1.
Vamos conferir cada um desses critérios.
Passo 3
1. Não-negatividade:
A função dada é
.
-
é positivo. -
também é positivo para qualquer valor de não negativo (que é o caso aqui, já que ).
Portanto,
para todos os
.
2. Soma total igual a 1:
Precisamos somar
para todos os
possíveis e ver se isso dá 1.
Podemos fatorar o
:
A soma
é uma série geométrica que converge para
quando
. Aqui,
, então:
Multiplicando pelo
:
Então, a soma total é 1.
Passo 4
Como os dois critérios foram atendidos, podemos concluir que
é realmente uma função de densidade de probabilidade.
Agora, vamos calcular a probabilidade
. Isso significa a probabilidade de
ser pelo menos 1, ou seja,
.
Uma maneira fácil de calcular essa probabilidade é usar o fato de que:
Vamos calcular
:
Então:
Resposta
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Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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