Verifique que as seguintes funções são funções de densidade e determine as probabilidades requeridas:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente verificar se a função para é uma função de densidade de probabilidade e depois calcular a probabilidade . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma função de densidade de probabilidade. Para que uma função seja uma função de densidade de probabilidade, dois critérios precisam ser atendidos:
  1. Não-negatividade: Para todo , deve ser maior ou igual a zero.
  2. Soma total igual a 1: A soma de para todos os valores possíveis de deve ser igual a 1.
Vamos conferir cada um desses critérios.

Passo 3

1. Não-negatividade:
A função dada é .
  • é positivo.
  • também é positivo para qualquer valor de não negativo (que é o caso aqui, já que ).
Portanto, para todos os .
2. Soma total igual a 1:
Precisamos somar para todos os possíveis e ver se isso dá 1.
Podemos fatorar o :
A soma é uma série geométrica que converge para quando . Aqui, , então:
Multiplicando pelo :
Então, a soma total é 1.

Passo 4

Como os dois critérios foram atendidos, podemos concluir que é realmente uma função de densidade de probabilidade.
Agora, vamos calcular a probabilidade . Isso significa a probabilidade de ser pelo menos 1, ou seja, .
Uma maneira fácil de calcular essa probabilidade é usar o fato de que:
Vamos calcular :
Então:

Resposta

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-2 -1 0 1 2
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ou
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