Determine uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformaçâo linear
definida por
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Transformação Linear. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) e uma base para a imagem (ou imagem) da transformação linear
definida por
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, transformação linear, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos encontrar todas as soluções do sistema:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Da segunda equação,
.
Passo 4
Substituindo
e
, podemos expressar todas as variáveis em termos de
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem (ou imagem) da transformação
. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
.
Para isso, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. A transformação
pode ser representada pela matriz:
Passo 6
A imagem de
é gerada pelas colunas da matriz
. Então, precisamos encontrar uma base para o espaço coluna de
.
As colunas de
são:
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Observamos que
, então a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras. Portanto, apenas
e
são necess��rias para gerar a imagem.
Passo 7
Assim, uma base para a imagem de
é formada pelos vetores
e
.
Resposta
A base para o núcleo de
é
e uma base para a imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) (10 pontos)( ) Se os vetores
e
são linearmente independentes.
(b) (10 pontos)( ) Se
Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que
.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
.
Verifique se os seguintes pontos são coplanares. Caso negativo, calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A e os três vértices adjacentes nos pontos B, C e D:
(b) A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1) e D=(10,-2,1);
(b) A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1) e D=(10,-2,1);