Verifique as seguintes relações:
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício que você enviou pede pra gente verificar umas relações envolvendo cálculo vetorial. A gente vai precisar entender de gradiente (
), divergente (
), e produtos vetoriais. Vou te ajudar passo a passo pra entender cada uma dessas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a relação
. Aqui,
e
são funções escalares.
A regra que usamos aqui é a regra do produto para gradientes. Ela diz que o gradiente de um produto de duas funções escalares é igual a primeira função multiplicada pelo gradiente da segunda mais a segunda função multiplicada pelo gradiente da primeira.
Então, aplicando isso:
Isso confirma a relação proposta.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda relação:
. Aqui,
é uma função escalar e
é um campo vetorial.
A gente usa a regra do produto para divergente. Essa regra nos diz que o divergente de um produto de uma função escalar e um vetor é igual ao gradiente da função escalar ponto com o vetor mais a função escalar vezes o divergente do vetor.
Aplicando isso:
Então, a relação está confirmada.
Passo 4
Vamos para a terceira expressão:
Aqui, o símbolo “:” representa o produto duplo entre dois tensores. Supondo que
e
sejam produtos externos (também chamados de produtos dyádicos), o produto duplo resulta no produto escalar entre os vetores correspondentes.
Então, temos:
Isso significa que multiplicamos os produtos escalares das componentes correspondentes.
Passo 5
Por último, a expressão
Aqui,
representa um tenso (ou tensor) de segunda ordem. O divergente de um tensor de segunda ordem resulta em um vetor.
A operação é feita tomando o divergente em cada uma das componentes do tensor. Se
tiver componentes
, então:
Ou seja, para cada componente
, somamos a derivada parcial das componentes
em relação a
.
Resposta
A gente verificou todas as relações:
-
-
-
-
é um vetor cujas componentes são a soma das derivadas parciais das componentes de em relação às coordenadas correspondentes.