Verifique as seguintes relações:
nabla(u s)=u nabla s+s nabla u
nabla s v=(nabla s) cdot v+s nabla cdot v
u v: w z=?
nabla cdot bartau= ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício que você enviou pede pra gente verificar umas relações envolvendo cálculo vetorial. A gente vai precisar entender de gradiente ( nabla), divergente ( nabla cdot), e produtos vetoriais. Vou te ajudar passo a passo pra entender cada uma dessas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a relação nabla(u s) = u nabla s + s nabla u. Aqui, u e s são funções escalares.
A regra que usamos aqui é a regra do produto para gradientes. Ela diz que o gradiente de um produto de duas funções escalares é igual a primeira função multiplicada pelo gradiente da segunda mais a segunda função multiplicada pelo gradiente da primeira.
Então, aplicando isso:
nabla(u s) = u nabla s + s nabla u
Isso confirma a relação proposta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda relação: nabla cdot (s v) = (nabla s) cdot v + s nabla cdot v. Aqui, s é uma função escalar e v é um campo vetorial.
A gente usa a regra do produto para divergente. Essa regra nos diz que o divergente de um produto de uma função escalar e um vetor é igual ao gradiente da função escalar ponto com o vetor mais a função escalar vezes o divergente do vetor.
Aplicando isso:
nabla cdot (s v) &= (nabla s) cdot v + s nabla cdot v
Então, a relação está confirmada.

Passo 4

Vamos para a terceira expressão: u v : w z = ?
Aqui, o símbolo “:” representa o produto duplo entre dois tensores. Supondo que u v e w z sejam produtos externos (também chamados de produtos dyádicos), o produto duplo resulta no produto escalar entre os vetores correspondentes.
Então, temos:
u v : w z = (u cdot w) (v cdot z)
Isso significa que multiplicamos os produtos escalares das componentes correspondentes.

Passo 5

Por último, a expressão nabla cdot bartau = ?
Aqui, bartau representa um tenso (ou tensor) de segunda ordem. O divergente de um tensor de segunda ordem resulta em um vetor.
A operação é feita tomando o divergente em cada uma das componentes do tensor. Se bartau tiver componentes tauij, então:
(nabla cdot bartau)i = sumj partial tauijpartial xj
Ou seja, para cada componente i, somamos a derivada parcial das componentes tauij em relação a xj.

Resposta

A gente verificou todas as relações:
  1. nabla(u s) = u nabla s + s nabla u
  2. nabla cdot (s v) = (nabla s) cdot v + s nabla cdot v
  3. u v : w z = (u cdot w) (v cdot z)
  4. nabla cdot bartau é um vetor cujas componentes são a soma das derivadas parciais das componentes de bartau em relação às coordenadas correspondentes.

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