Calcule as componentes do gradiente da função varphi nos pontos ( x, y, z ) indicados , para os seguintes casos:
& varphi=x^2+y^2-a z^2 no ponto (1,3,-1) & varphi=z^2 e^x sen y no ponto (0, pi / 2, pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as componentes do gradiente da função varphi em dois pontos diferentes. O conteúdo aqui é sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas em várias direções (parciais) e depois avaliar essas derivadas nos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a primeira função: varphi = x^2 + y^2 - a z^2 no ponto (1, 3, -1). O gradiente dessa função é um vetor que contém as derivadas parciais de varphi em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
    partial varphipartial x = 2x
  2. Derivada parcial em relação a y:
    partial varphipartial y = 2y
  3. Derivada parcial em relação a z:
    partial varphipartial z = -2a z

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 3, -1):
  1. Para x = 1:
    partial varphipartial x = 2 times 1 = 2
  2. Para y = 3:
    partial varphipartial y = 2 times 3 = 6
  3. Para z = -1:
    partial varphipartial z = -2a times (-1) = 2a

Passo 5

Agora, vamos para a segunda função: varphi = z^2 e^x sin y no ponto (0, pi2, pi4). Vamos novamente calcular as derivadas parciais.

Passo 6

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
    partial varphipartial x = z^2 e^x sin y
  2. Derivada parcial em relação a y:
    partial varphipartial y = z^2 e^x cos y
  3. Derivada parcial em relação a z:
    partial varphipartial z = 2z e^x sin y

Passo 7

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, pi2, pi4):
  1. Para x = 0:
    e^0 = 1
    Então,
    partial varphipartial x = (pi4)^2 times 1 times sin(pi2) = pi^216 times 1 = pi^216
  2. Para y = pi2:
    sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0
    Então,
    partial varphipartial y = (pi4)^2 times 1 times 0 = 0
  3. Para z = pi4:
    partial varphipartial z = 2 times pi4 times 1 times 1 = pi2

Resposta

As componentes do gradiente da função varphi são:
  1. Para varphi = x^2 + y^2 - a z^2 no ponto (1, 3, -1):
    nabla varphi = (2, 6, 2a)
  2. Para varphi = z^2 e^x sin y no ponto (0, pi2, pi4):
    nabla varphi = (pi^216, 0, pi2)

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