Calcule as componentes do gradiente da função
nos pontos (
) indicados , para os seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as componentes do gradiente da função
em dois pontos diferentes. O conteúdo aqui é sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas em várias direções (parciais) e depois avaliar essas derivadas nos pontos indicados.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a primeira função:
no ponto
. O gradiente dessa função é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda função:
no ponto
. Vamos novamente calcular as derivadas parciais.
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para
: Então, -
Para
: Então, -
Para
:
Resposta
As componentes do gradiente da função
são:
-
Para
no ponto : -
Para
no ponto :