A partir do ponto P0(-1,3,2), qual será a direção na qual a função
theta=(x+y)^2+z^2-x y+2 z aumenta mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um ponto específico, P0(-1,3,2), e uma função theta=(x+y)^2+z^2-x y+2 z. A pergunta é: em qual direção essa função aumenta mais rapidamente a partir desse ponto? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior crescimento da função em um dado ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função theta. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Isso nos dá a taxa de variação da função em cada direção.
A função dada é:
theta = (x + y)^2 + z^2 - xy + 2z
Vamos encontrar as derivadas parciais:
  1. Em relação a x:
partial thetapartial x = 2(x + y) - y = 2x + 2y - y = 2x + y
  1. Em relação a y:
partial thetapartial y = 2(x + y) - x = 2x + 2y - x = x + 2y
  1. Em relação a z:
partial thetapartial z = 2z + 2 = 2z + 2
Portanto, o gradiente de theta é:
nabla theta = (2x + y, x + 2y, 2z + 2)

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P0(-1,3,2). Substituindo x = -1, y = 3 e z = 2 nas derivadas que encontramos:
  1. Para a componente x:
2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1
  1. Para a componente y:
-1 + 2(3) = -1 + 6 = 5
  1. Para a componente z:
2(2) + 2 = 4 + 2 = 6
Então, o gradiente no ponto P0(-1,3,2) é:
nabla theta (P0) = (1, 5, 6)

Passo 4

O gradiente da função em um ponto dá a direção na qual a função cresce mais rapidamente a partir desse ponto. Portanto, a direção em que a função theta aumenta mais rapidamente a partir de P0(-1,3,2) é exatamente a direção do vetor gradiente que encontramos, ou seja, (1, 5, 6).

Resposta

A função theta aumenta mais rapidamente na direção do vetor (1, 5, 6) a partir do ponto P0(-1,3,2).

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