A partir do ponto
, qual será a direção na qual a função
aumenta mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um ponto específico,
, e uma função
. A pergunta é: em qual direção essa função aumenta mais rapidamente a partir desse ponto? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior crescimento da função em um dado ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Isso nos dá a taxa de variação da função em cada direção.
A função dada é:
Vamos encontrar as derivadas parciais:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
nas derivadas que encontramos:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
O gradiente da função em um ponto dá a direção na qual a função cresce mais rapidamente a partir desse ponto. Portanto, a direção em que a função
aumenta mais rapidamente a partir de
é exatamente a direção do vetor gradiente que encontramos, ou seja,
.
Resposta
A função
aumenta mais rapidamente na direção do vetor
a partir do ponto
.