Sejam E um espaço vetorial e u, v in E. O segmento de reta de extremidades u, v é, por definição, o conjunto
[u, v]=(1-t) u+tv ; 0 <= t <= 1
Um conjunto X subset E chama-se convexo quando u, v in X Rightarrow[u, v] subset X. (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X está contido em X.) Prove:
(a) A interseção X1 cap ldots cap Xm de conjuntos convexos X1, ldots, Xm subset E é um conjunto convexo.
(b) Dados a,b,c in R, o conjunto X=(x, y) in R^2 ; a x+b y <= c é convexo em R^2.
© O conjunto Y=(x, y, z) in R^3 ; a <= x <= b, c d} é convexo em R^3.
(d) Seja X subset E convexo. Se r, s, t são números reais >= 0 tais que r+s+t=1 então u, v, w in X Rightarrow ru+s v+tw in X.
(e) Generalizando o resultado acima, a expressão t1 v1+cdots+tk vk, onde t1, ldots, tk são >= 0 e t1+cdots+tk=1 chama-se uma combinação convexa dos vetores v1, ldots, vk. Se o conjunto X subset E é convexo, prove que toda combinação convexa de vetores v1, ldots, vk in X ainda pertence a X.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre conjuntos convexos em espaços vetoriais. Vou te ajudar a resolver as partes de (a) a (e). Pra isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo, como ele se comporta quando fazemos interseções e combinações convexas de vetores. Vamos usar conceitos de geometria vetorial e definição de convexidade para provar cada afirmação.

Passo 2

Parte (a): Queremos provar que a interseção de conjuntos convexos também é convexo.
Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que os liga também está dentro do conjunto. Então, vamos pegar dois pontos quaisquer na interseção e mostrar que o segmento entre eles também está na interseção.
Como são todos convexos, para qualquer , o segmento entre dois pontos em está dentro de . Como nosso conjunto é a interseção, o segmento estará em todos os . Logo, a interseção é convexa.

Passo 3

Parte (b): Precisamos mostrar que o conjunto a x1 + b y1 <= c e a x2 + b y2 <= c é convexo.
Vamos pegar dois pontos a[(1-t)x1 + t x2] + b[(1-t)y1 + t y2] = (1-t)(a x1 + b y1) + t(a x2 + b y2) <= (1-t)c + t c = c e em . Isso significa que:
Agora, consideramos qualquer ponto no segmento entre eles, dado por para . Vamos verificar se esse ponto também satisfaz a inequação:
Portanto, todo ponto no segmento também está em , mostrando que é convexo.

Passo 4

Parte ©: Temos o conjunto a <= x1, x2 <= b e c < y1, y2 < d e precisamos provar que ele é convexo.
Vamos pegar dois pontos (x, y, z) = (1-t)x1 + t x2, (1-t)y1 + t y2, (1-t)z1 + t z2 e a <= (1-t)x1 + t x2 <= b e c < (1-t)y1 + t y2 < d em . Isso significa que:
Para qualquer , o ponto no segmento é:
Vemos que:
Pois as combinações convexas de números dentro dos intervalos permanecem dentro dos mesmos intervalos. Logo, é convexo.

Passo 5

Parte (d): Sabemos que é convexo e queremos mostrar que, para com , se , então .
Como é convexo, a combinação de dois pontos está em . Vamos usar isso de forma iterativa:
Primeiro, considere . Como , escrevemos . Como , a combinação está em , e então está em (já que é fechado para combinações lineares com coeficientes que somam até menos de 1).
Agora, adicionamos , onde , então também está em .

Passo 6

Parte (e): Queremos generalizar o resultado anterior para uma combinação convexa de vetores. Ou seja, provar que onde e .
Vamos fazer isso por indução:
  • Base da indução: Para , já mostramos na parte (d) que .
  • Passo indutivo: Assume que para , qualquer combinação convexa de vetores está em . Para , podemos agrupar os primeiros termos como uma combinação convexa (pela hipótese de indução), e então combinar esse resultado com o -ésimo vetor, aplicando novamente a convexidade de .
Portanto, por indução, qualquer combinação convexa de vetores em está em .

Resposta

Todas as afirmações de (a) a (e) foram comprovadas, mostrando que interseções de conjuntos convexos são convexos, determinados conjuntos geométricos são convexos, e combinações convexas de vetores em um conjunto convexo permanecem dentro desse conjunto.

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