Sejam um espaço vetorial e . O segmento de reta de extremidades é, por definição, o conjunto
Um conjunto chama-se convexo quando . (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de está contido em X.) Prove:
(a) interseção de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
(b) Dados a,b,c , o conjunto é convexo em .
© O conjunto a d} é convexo em .
(d) Seja convexo. Se , t são números reais tais que então .
(e) Generalizando o resultado acima, a expressão , onde são e chama-se uma combinação convexa dos vetores . Se o conjunto é convexo, prove que toda combinação convexa de vetores ainda pertence a X.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre conjuntos convexos em espaços vetoriais. Vou te ajudar a resolver as partes de (a) a (e). Pra isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo, como ele se comporta quando fazemos interseções e combinações convexas de vetores. Vamos usar conceitos de geometria vetorial e definição de convexidade para provar cada afirmação.

Passo 2

Parte (a): Queremos provar que a interseção de conjuntos convexos também é convexo.
Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que os liga também está dentro do conjunto. Então, vamos pegar dois pontos quaisquer na interseção e mostrar que o segmento entre eles também está na interseção.
Como são todos convexos, para qualquer , o segmento entre dois pontos em está dentro de . Como nosso conjunto é a interseção, o segmento estará em todos os . Logo, a interseção é convexa.

Passo 3

Parte (b): Precisamos mostrar que o conjunto é convexo.
Vamos pegar dois pontos e em . Isso significa que:
Agora, consideramos qualquer ponto no segmento entre eles, dado por para . Vamos verificar se esse ponto também satisfaz a inequação:
Portanto, todo ponto no segmento também está em , mostrando que é convexo.

Passo 4

Parte ©: Temos o conjunto e precisamos provar que ele é convexo.
Vamos pegar dois pontos e em . Isso significa que:
Para qualquer , o ponto no segmento é:
Vemos que:
Pois as combinações convexas de números dentro dos intervalos permanecem dentro dos mesmos intervalos. Logo, é convexo.

Passo 5

Parte (d): Sabemos que é convexo e queremos mostrar que, para com , se , então .
Como é convexo, a combinação de dois pontos está em . Vamos usar isso de forma iterativa:
Primeiro, considere . Como , escrevemos . Como , a combinação está em , e então está em (já que é fechado para combinações lineares com coeficientes que somam até menos de 1).
Agora, adicionamos , onde , então também está em .

Passo 6

Parte (e): Queremos generalizar o resultado anterior para uma combinação convexa de vetores. Ou seja, provar que onde e .
Vamos fazer isso por indução:
  • Base da indução: Para , já mostramos na parte (d) que .
  • Passo indutivo: Assume que para , qualquer combinação convexa de vetores está em . Para , podemos agrupar os primeiros termos como uma combinação convexa (pela hipótese de indução), e então combinar esse resultado com o -ésimo vetor, aplicando novamente a convexidade de .
Portanto, por indução, qualquer combinação convexa de vetores em está em .

Resposta

Todas as afirmações de (a) a (e) foram comprovadas, mostrando que interseções de conjuntos convexos são convexos, determinados conjuntos geométricos são convexos, e combinações convexas de vetores em um conjunto convexo permanecem dentro desse conjunto.

Exercícios relacionados

Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(e)
Encontre a integral indefinida da função em relação a e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
Assinale a alternativa que descreve o uso de modos de citação de discurso alheio na construção do texto.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(h)