Sejam
um espaço vetorial e
. O segmento de reta de extremidades
é, por definição, o conjunto
Um conjunto
chama-se convexo quando
. (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de
está contido em X.) Prove:
(a)
interseção
de conjuntos convexos
é um conjunto convexo.
(b) Dados a,b,c
, o conjunto
é convexo em
.
© O conjunto
a
d} é convexo em
.
(d) Seja
convexo. Se
, t são números reais
tais que
então
.
(e) Generalizando o resultado acima, a expressão
, onde
são
e
chama-se uma combinação convexa dos vetores
. Se o conjunto
é convexo, prove que toda combinação convexa de vetores
ainda pertence a X.
(a)
(b) Dados a,b,c
© O conjunto
(d) Seja
(e) Generalizando o resultado acima, a expressão
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre conjuntos convexos em espaços vetoriais. Vou te ajudar a resolver as partes de (a) a (e). Pra isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo, como ele se comporta quando fazemos interseções e combinações convexas de vetores. Vamos usar conceitos de geometria vetorial e definição de convexidade para provar cada afirmação.
Passo 2
Parte (a): Queremos provar que a interseção de conjuntos convexos
também é convexo.
Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que os liga também está dentro do conjunto. Então, vamos pegar dois pontos quaisquer na interseção e mostrar que o segmento entre eles também está na interseção.
Como
são todos convexos, para qualquer
, o segmento entre dois pontos em
está dentro de
. Como nosso conjunto é a interseção, o segmento estará em todos os
. Logo, a interseção é convexa.
Passo 3
Parte (b): Precisamos mostrar que o conjunto
é convexo.
Vamos pegar dois pontos
e
em
. Isso significa que:
Agora, consideramos qualquer ponto no segmento entre eles, dado por
para
. Vamos verificar se esse ponto também satisfaz a inequação:
Portanto, todo ponto no segmento também está em
, mostrando que
é convexo.
Passo 4
Parte ©: Temos o conjunto
e precisamos provar que ele é convexo.
Vamos pegar dois pontos
e
em
. Isso significa que:
Para qualquer
, o ponto no segmento é:
Vemos que:
Pois as combinações convexas de números dentro dos intervalos permanecem dentro dos mesmos intervalos. Logo,
é convexo.
Passo 5
Parte (d): Sabemos que
é convexo e queremos mostrar que, para
com
, se
, então
.
Como
é convexo, a combinação de dois pontos está em
. Vamos usar isso de forma iterativa:
Primeiro, considere
. Como
, escrevemos
. Como
, a combinação
está em
, e então
está em
(já que
é fechado para combinações lineares com coeficientes que somam até menos de 1).
Agora, adicionamos
, onde
, então
também está em
.
Passo 6
Parte (e): Queremos generalizar o resultado anterior para uma combinação convexa de
vetores. Ou seja, provar que
onde
e
.
Vamos fazer isso por indução:
-
Base da indução: Para
, já mostramos na parte (d) que . -
Passo indutivo: Assume que para
, qualquer combinação convexa de vetores está em . Para , podemos agrupar os primeiros termos como uma combinação convexa (pela hipótese de indução), e então combinar esse resultado com o -ésimo vetor, aplicando novamente a convexidade de .
Portanto, por indução, qualquer combinação convexa de
vetores em
está em
.
Resposta
Todas as afirmações de (a) a (e) foram comprovadas, mostrando que interseções de conjuntos convexos são convexos, determinados conjuntos geométricos são convexos, e combinações convexas de vetores em um conjunto convexo permanecem dentro desse conjunto.
Exercícios relacionados
Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(e)
(e)
Encontre a integral indefinida da função
em relação a
e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Assinale a alternativa que descreve o uso de modos de citação de discurso alheio na construção do texto.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(h)
(h)