Verifique que
é uma série uniformemente convergente em
. Além disso, mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a série . A gente precisa verificar se essa série converge de forma uniforme em todo o conjunto dos números reais
. Além disso, tem que mostrar que a função
resultante é contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries e teoremas de convergência, como o Teste de Cauchy e o Teste de Weierstrass para convergência uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da série. O numerador tem duas partes:
e . Sabemos que tanto o cosseno quanto o seno são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. Então, podemos dizer que:
Isso nos ajuda a simplificar a análise da série, já que vamos trabalhar com essas estimativas.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da fração:
. Para valores de
grandes, o termo
domina, então podemos dizer que
. Isso vai facilitar na hora de aplicar o Teste de Weierstrass.
Passo 4
Com essas informações, vamos estabelecer uma cota para os termos da série. Sabemos que:
Aqui, usamos o fato de que
e são no máximo 1, e simplificamos o denominador.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teste de Weierstrass para verificar a convergência uniforme da série. O teste diz que se existe uma série
tal que
para todo
e
converge, então
converge uniformemente.
No nosso caso, escolhemos
. Sabemos que a série
é uma série p com
, o que significa que ela converge.
Passo 6
Como a série majorante
converge, pelo Teorema de Weierstrass, a série original
também converge uniformemente em
.
Passo 7
Agora, para mostrar que
é contínua em
, usamos o fato de que a soma de funções contínuas que converge uniformemente também resulta em uma função contínua. Sabemos que
e são funções contínuas, e como a série converge uniformemente, a função
será contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A série converge de forma uniforme em
e a função
resultante é contínua em todo o conjunto dos números reais.
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Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Calcule a derivada da função
no ponto (
), na direção do vetor
.
Encontre a derivada da função
em
, na direção da tangente à curva
.
Mostre que a série
é absolutamente convergente para todo
. A série é absolutamente convergente nos extremos do intervalo?