Verifique que é uma série uniformemente convergente em . Além disso, mostre que é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a série . A gente precisa verificar se essa série converge de forma uniforme em todo o conjunto dos números reais . Além disso, tem que mostrar que a função resultante é contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries e teoremas de convergência, como o Teste de Cauchy e o Teste de Weierstrass para convergência uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da série. O numerador tem duas partes: e . Sabemos que tanto o cosseno quanto o seno são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. Então, podemos dizer que:
Isso nos ajuda a simplificar a análise da série, já que vamos trabalhar com essas estimativas.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da fração: . Para valores de grandes, o termo domina, então podemos dizer que . Isso vai facilitar na hora de aplicar o Teste de Weierstrass.

Passo 4

Com essas informações, vamos estabelecer uma cota para os termos da série. Sabemos que:
Aqui, usamos o fato de que e são no máximo 1, e simplificamos o denominador.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teste de Weierstrass para verificar a convergência uniforme da série. O teste diz que se existe uma série tal que para todo e converge, então converge uniformemente.
No nosso caso, escolhemos . Sabemos que a série é uma série p com , o que significa que ela converge.

Passo 6

Como a série majorante converge, pelo Teorema de Weierstrass, a série original também converge uniformemente em .

Passo 7

Agora, para mostrar que é contínua em , usamos o fato de que a soma de funções contínuas que converge uniformemente também resulta em uma função contínua. Sabemos que e são funções contínuas, e como a série converge uniformemente, a função será contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A série converge de forma uniforme em e a função resultante é contínua em todo o conjunto dos números reais.

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