Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
no ponto
usando o limite do quociente de Newton. Para isso, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com o conceito de derivada que mede a taxa de variação de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função
no ponto
usando o limite do quociente de Newton:
Aqui,
representa uma pequena variação em torno do ponto
.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa função
no ponto
, temos:
Vamos calcular
e
:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 4
Simplificando a fração:
Portanto, o limite se torna:
Resposta
A derivada de
no ponto
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
no ponto (
), na direção do vetor
.
Determine o limite da sequência
Verifique que
é uma série uniformemente convergente em
. Além disso, mostre que
é contínua em
.
Encontre a derivada da função
em
, na direção da tangente à curva
.