Calcule a derivada da função no ponto ( ), na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor gradiente da função . O gradiente, representado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 3

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto dado :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção unitário na direção de . Primeiro, vamos normalizar o vetor .
A norma de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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