Verify the following properties of the transpose when
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar uma propriedade envolvendo matrizes e suas transpostas. O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente operações com matrizes como transposição e inversão. Vamos precisar calcular a transposta da matriz C, encontrar a inversa dessa transposta, e também fazer a inversa da matriz C primeiro e depois transpor essa inversa. No final, vamos comparar os resultados pra ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz C, denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se C é:
A transposta será:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a inversa de uma matriz. A inversa de uma matriz C, denotada por , é a matriz que, quando multiplicada por C, resulta na matriz identidade. Mas nem toda matriz tem inversa; para uma matriz 2x2, ela tem inversa se o determinante for diferente de zero.
O determinante de C é calculado assim:
Como o determinante é diferente de zero, C tem inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Onde C é:
Passo 4
Vamos calcular primeiro. Já temos a transposta :
Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:
Passo 5
Agora, vamos calcular . Primeiro, encontramos usando a fórmula mencionada:
Agora, vamos transpor :
Resposta
Sim, a igualdade é verdadeira para a matriz C dada.