Verify the following properties of the transpose when
A=[ll 2 & 1 1 & 3 ], B=[lll 1 & 4 & 2 5 & 0 & 3 ], and C=[ll 1 & 4 3 & 2 ]
(b) (C^prime)^-1=(C^-1)^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar uma propriedade envolvendo matrizes e suas transpostas. O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente operações com matrizes como transposição e inversão. Vamos precisar calcular a transposta da matriz C, encontrar a inversa dessa transposta, e também fazer a inversa da matriz C primeiro e depois transpor essa inversa. No final, vamos comparar os resultados pra ver se a igualdade (C^prime)^-1 = (C^-1)^prime é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz C, denotada por C', é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se C é:
C = 1 & 4 3 & 2
A transposta C' será:
C' = 1 & 3 4 & 2

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a inversa de uma matriz. A inversa de uma matriz C, denotada por C^-1, é a matriz que, quando multiplicada por C, resulta na matriz identidade. Mas nem toda matriz tem inversa; para uma matriz 2x2, ela tem inversa se o determinante for diferente de zero.
O determinante de C é calculado assim:
det(C) = (1)(2) - (4)(3) = 2 - 12 = -10
Como o determinante é diferente de zero, C tem inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
C^-1 = 1det(C) d & -b -c & a
Onde C é:
C = a & b c & d

Passo 4

Vamos calcular (C^prime)^-1 primeiro. Já temos a transposta C':
C' = 1 & 3 4 & 2
Calculando o determinante de C':
det(C') = (1)(2) - (3)(4) = 2 - 12 = -10
Então, a inversa de C' é:
(C^prime)^-1 = 1-10 2 & -3 -4 & 1 = -0.2 & 0.3 0.4 & -0.1

Passo 5

Agora, vamos calcular (C^-1)^prime. Primeiro, encontramos C^-1 usando a fórmula mencionada:
C^-1 = 1-10 2 & -4 -3 & 1 = -0.2 & 0.4 0.3 & -0.1
Agora, vamos transpor C^-1:
(C^-1)^prime = -0.2 & 0.3 0.4 & -0.1

Resposta

Sim, a igualdade (C^prime)^-1 = (C^-1)^prime é verdadeira para a matriz C dada.

Exercícios relacionados