Os vértices de um triângulo são e . Determine as coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado B C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor , onde é o pé da altura relativa ao lado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o pé da altura. No triângulo, a altura relativa a um lado é um segmento perpendicular a esse lado que parte do vértice oposto. Então, é o ponto em onde a altura cai, formando um ângulo de 90 graus com .
Passo 3
Vamos começar calculando o vetor BC = C - B = (-3 - 5, 9 - 1, 3 - 3) = (-8, 8, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 4
Agora, precisamos do vetor BA = A - B = (1 - 5, 1 - 1, 2 - 3) = (-4, 0, -1) , que é o vetor de até :
Passo 5
Para encontrar o vetor projeção de projBC BA = ( BA cdot BC||BC||^2 ) BC sobre , usamos a fórmula da projeção de um vetor sobre outro:
Onde representa o produto escalar e é a norma (comprimento) do vetor .
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar BA cdot BC = (-4)(-8) + (0)(8) + (-1)(0) = 32 + 0 + 0 = 32 :