Os vértices de um triângulo são A=(1,1,2), B=(5,1,3) e C=(-3,9,3). Determine as coordenadas do vetor A H, onde H é o pé da altura relativa ao lado B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor , onde é o pé da altura relativa ao lado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o pé da altura. No triângulo, a altura relativa a um lado é um segmento perpendicular a esse lado que parte do vértice oposto. Então, é o ponto em onde a altura cai, formando um ângulo de 90 graus com .

Passo 3

Vamos começar calculando o vetor BC = C - B = (-3 - 5, 9 - 1, 3 - 3) = (-8, 8, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Agora, precisamos do vetor BA = A - B = (1 - 5, 1 - 1, 2 - 3) = (-4, 0, -1) , que é o vetor de até :

Passo 5

Para encontrar o vetor projeção de projBC BA = ( BA cdot BC||BC||^2 ) BC sobre , usamos a fórmula da projeção de um vetor sobre outro:
Onde representa o produto escalar e é a norma (comprimento) do vetor .

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar BA cdot BC = (-4)(-8) + (0)(8) + (-1)(0) = 32 + 0 + 0 = 32 :

Passo 7

Agora, calculamos a norma de ||BC||^2 = (-8)^2 + 8^2 + 0^2 = 64 + 64 + 0 = 128 :

Passo 8

Substituímos esses valores na fórmula da projeção:
projBC BA = ( 32128 ) BC = ( 14 ) (-8, 8, 0) = (-2, 2, 0)

Passo 9

O ponto H = B + projBC BA = (5,1,3) + (-2,2,0) = (3,3,3) é obtido somando a projeção ao ponto :

Passo 10

Finalmente, para encontrar o vetor A H = H - A = (3 - 1, 3 - 1, 3 - 2) = (2, 2, 1) , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Resposta

O vetor tem as coordenadas .

Exercícios relacionados