Sejam as bases B=[l5 0],[r3 -5] e C=[l0 2],[r-1 2] em R^2. Encontre a matriz transformação de vetores da base B para a base C;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente precisa encontrar a matriz de transformação que converte vetores da base para a base em . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e manipulação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as bases B = 5 0 , 3 -5 , C = 0 2 , -1 2 e :

Passo 3

A matriz de transformação que converte vetores da base para a base é dada por , onde é a matriz identidade. Para encontrar essa matriz, precisamos encontrar como os vetores de se expressam na base .

Passo 4

Vamos chamar os vetores de b1 = 5 0 , b2 = 3 -5 de c1 = 0 2 , c2 = -1 2 e :
E os vetores de de e :

Passo 5

Precisamos expressar b1 = a c1 + b c2 e b2 = a' c1 + b' c2 como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 6

Vamos resolver para 5 0 = a 0 2 + b -1 2 :
0a -1b = 5 (1)
Isso dá o sistema:
2a + 2b = 0 (2)

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
2a + 2b = 0 implies a = -b
Substituindo na equação (1):
- b = 5 implies b = -5
a = 5
Então:
b1 = 5 c1 -5 c2

Passo 8

Agora, vamos resolver para 3 -5 = a' 0 2 + b' -1 2 :
0a' -1b' = 3 (3)
Isso dá o sistema:
2a' + 2b' = -5 (4)

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
- b' = 3 implies b' = -3
Substituindo na equação (4):
2a' + 2(-3) = -5 implies 2a' -6 = -5 implies 2a' = 1 implies a' = 12
Então:
b2 = 12 c1 -3 c2

Passo 10

Agora podemos montar a matriz de transformação [I]C^B = 5 & 12 -5 & -3 com esses coeficientes:

Resposta

A matriz transformação de vetores da base 5 & dfrac12 -5 & -3 para a base é:

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