Sejam as bases
e
em
. Encontre a matriz transformação de vetores da base
para a base
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente precisa encontrar a matriz de transformação que converte vetores da base
para a base
em
. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e manipulação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as bases
e
:
Passo 3
A matriz de transformação que converte vetores da base
para a base
é dada por
, onde
é a matriz identidade. Para encontrar essa matriz, precisamos encontrar como os vetores de
se expressam na base
.
Passo 4
Vamos chamar os vetores de
de
e
:
E os vetores de
de
e
:
Passo 5
Precisamos expressar
e
como combinações lineares de
e
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Isso dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Isso dá o sistema:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então:
Passo 10
Agora podemos montar a matriz de transformação
com esses coeficientes:
Resposta
A matriz transformação de vetores da base
para a base
é: