Um vetor
é dado por
. Determine um vetor
de módulo igual a
e componente x unitária de modo que
e
sejam perpendiculares entre si.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
. Precisamos encontrar um vetor
que tenha:
- Módulo igual a
. - Componente
igual a . - Seja perpendicular a
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar, que nos ajuda a verificar a perpendicularidade entre vetores.
Passo 2
Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre
e
é dado por:
Vamos supor que
, onde
e
são componentes que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 4
Além disso, sabemos que o módulo de
é
. O módulo de um vetor é dado por:
Elevando ao quadrado ambos os lados para facilitar a resolução:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 8
Agora, encontramos os valores de
. Vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
.
Para
:
Para
:
Passo 9
Então, temos duas possíveis soluções para o vetor
:
Resposta
Os vetores
que satisfazem as condições são:
-
ou
-