Um vetor B é dado por B=ax+2 ay+3 az. Determine um vetor A de módulo igual a raiz3 e componente x unitária de modo que A e B sejam perpendiculares entre si.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor B = ax + 2 ay + 3 az. Precisamos encontrar um vetor A que tenha:
  1. Módulo igual a raiz3.
  2. Componente x igual a 1.
  3. Seja perpendicular a B.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar, que nos ajuda a verificar a perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre A e B é dado por:
A cdot B = 0
Vamos supor que A = 1,ax + y,ay + z,az, onde y e z são componentes que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
A cdot B = (1)(1) + (y)(2) + (z)(3) = 0
Simplificando:
1 + 2y + 3z = 0

Passo 4

Além disso, sabemos que o módulo de A é raiz3. O módulo de um vetor é dado por:
|A| = raiz1^2 + y^2 + z^2 = raiz3
Elevando ao quadrado ambos os lados para facilitar a resolução:
1 + y^2 + z^2 = 3
Simplificando:
y^2 + z^2 = 2

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. 1 + 2y + 3z = 0
  2. y^2 + z^2 = 2
Vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, y:
2y = -1 - 3z y = -1 - 3z2

Passo 6

Substituindo y na segunda equação:
(-1 - 3z2)^2 + z^2 = 2 (1 + 6z + 9z^2)4 + z^2 = 2 1 + 6z + 9z^2 + 4z^24 = 2 1 + 6z + 13z^24 = 2 1 + 6z + 13z^2 = 8 13z^2 + 6z - 7 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática 13z^2 + 6z - 7 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
z = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 13 cdot (-7)2 cdot 13 z = -6 pm raiz36 + 36426 z = -6 pm raiz40026 z = -6 pm 2026
Então, temos duas soluções para z:
  1. z = -6 + 2026 = 1426 = 713
  2. z = -6 - 2026 = -2626 = -1

Passo 8

Agora, encontramos os valores de z. Vamos encontrar os correspondentes valores de y usando y = -1 - 3z2.
Para z = 713:
y = -1 - 3 cdot 7132 = -1 - 21132 = -34132 = -3426 = -1713
Para z = -1:
y = -1 - 3 cdot (-1)2 = -1 + 32 = 22 = 1

Passo 9

Então, temos duas possíveis soluções para o vetor A:
  1. A = 1,ax - 1713,ay + 713,az
  2. A = 1,ax + 1,ay - 1,az

Resposta

Os vetores A que satisfazem as condições são:
  1. A = ax - 1713,ay + 713,az
    ou
  2. A = ax + ay - az

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