Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, temos uma integral que envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e algumas propriedades de funções matemáticas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral para deixar mais fácil de visualizar. Observe que , , e são constantes em relação a , então podemos fatorá-las para fora da integral:
Assim, a integral que precisamos resolver agora é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que aparece em cálculo. A antiderivada dessa função é dada por:
Ou, de forma equivalente utilizando logaritmos:
Vamos usar a forma do logaritmo para facilitar a avaliação dos limites.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:
ln( L + raiz L^2 + rho^2 ) - ln(rho)
O que pode ser reescrito como:
ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )
Passo 5
Agora, voltamos à expressão original de V:
V = rhoL 2 pi varepsilon0 times ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )
Essa é a expressão final para a integral proposta.
Resposta
V = rhoL 2 pi varepsilon0 ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )