Resolva a integral:
V=integral0^L rhoL d z2 pi varepsilon0(rho^2+z^2)^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
V = integral0^L rhoL , dz 2 pi varepsilon0 raiz rho^2 + z^2
Aqui, temos uma integral que envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e algumas propriedades de funções matemáticas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral para deixar mais fácil de visualizar. Observe que rhoL, 2pi, e varepsilon0 são constantes em relação a z, então podemos fatorá-las para fora da integral:
V = rhoL 2 pi varepsilon0 integral0^L dz raiz rho^2 + z^2
Assim, a integral que precisamos resolver agora é:
integral dz raiz rho^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:
integral dz raiz rho^2 + z^2
Essa é uma integral padrão que aparece em cálculo. A antiderivada dessa função é dada por:
sinh^-1( zrho ) + C
Ou, de forma equivalente utilizando logaritmos:
ln( z + raiz z^2 + rho^2 ) + C
Vamos usar a forma do logaritmo para facilitar a avaliação dos limites.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a L:
ln( z + raiz z^2 + rho^2 ) |0^L = ln( L + raiz L^2 + rho^2 ) - ln( 0 + raiz 0 + rho^2 )
Simplificando:
ln( L + raiz L^2 + rho^2 ) - ln(rho)
O que pode ser reescrito como:
ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original de V:
V = rhoL 2 pi varepsilon0 times ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )
Essa é a expressão final para a integral proposta.

Resposta

V = rhoL 2 pi varepsilon0 ln( L + raiz L^2 + rho^2 rho )

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