O vetor posição de uma partícula cuja massa é de 3 kg é dado por r=4 ex+3 t^2 ey, onde r é expresso em metros e t em segundos. Determine a quantidade de movimento angular e o torque atuante na partícula em relação à origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 3 kg e um vetor posição que depende do tempo: . Nosso objetivo é encontrar a quantidade de movimento angular e o torque atuante nessa partícula em relação à origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Clássica, especificamente sobre quantidade de movimento angular e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular v = drdt = ddt (4 ex + 3 t^2 ey) = 0 ex + 6 t ey = 6 t ey :

Passo 3

Agora que temos a velocidade, podemos achar o vetor quantidade de movimento p = m v . A quantidade de movimento é dada por:
p = 3 , kg times 6 t ey = 18 t ey , kg cdot m/s
Onde é a massa da partícula, que é 3 kg. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a quantidade de movimento angular L = r times p . Ela é dada pelo produto vetorial entre o vetor posição L = (4 ex + 3 t^2 ey) times (18 t ey) e a quantidade de movimento L = 4 ex times 18 t ey + 3 t^2 ey times 18 t ey = 72 t ez + 0 = 72 t ez , kg cdot m^2/s :
Substituindo os valores que temos:
Calculando o produto vetorial:

Passo 5

Por último, vamos encontrar o torque tau = dLdt . O torque é a derivada da quantidade de movimento angular em relação ao tempo:
tau = ddt (72 t ez) = 72 ez , N cdot m
Derivando :

Resposta

A quantidade de movimento angular da partícula é kg·m²/s e o torque atuante em relação à origem é N·m.

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