Quatro partículas em um canto de um quadrado com lado L=2 m estão conectadas por barras de massa desprezível (veja Figura 4). As massas das partículas são m1=m4=3 kg e m2=m3=4.0 kg. Encontre o momento de inércia do sistema em torno do eixo z indicado. Resolução:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo o momento de inércia. O enunciado fala sobre quatro partículas conectadas em um canto de um quadrado de lado . As massas são e . Nosso objetivo é encontrar o momento de inércia desse sistema em torno do eixo indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia ( I = m cdot r^2 ) de um ponto de massa é:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a posição de cada partícula em relação ao eixo . Como todas estão em um canto do quadrado, vamos supor que o eixo passa por esse canto. Assim:
  • As partículas e estão exatamente no eixo, então a distância .
  • As partículas e estão nos vértices adjacentes, a uma distância do eixo.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia para cada partícula:
  • Para I1 = m1 cdot r1^2 = 3 , kg cdot 0^2 = 0 , kg cdot m^2 e I4 = m4 cdot r4^2 = 3 , kg cdot 0^2 = 0 , kg cdot m^2 :
I2 = m2 cdot r2^2 = 4 , kg cdot (2 , m)^2 = 4 cdot 4 = 16 , kg cdot m^2
I3 = m3 cdot r3^2 = 4 , kg cdot (2 , m)^2 = 4 cdot 4 = 16 , kg cdot m^2
  • Para e :

Passo 5

Agora, somamos todos os momentos de inércia individuais para obter o momento de inércia total do sistema:
Itotal = I1 + I2 + I3 + I4 = 0 + 16 + 16 + 0 = 32 , kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia do sistema em torno do eixo é 32 kg·m².

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