O vetor posição de uma partícula elétrica é r= 30 t imath-4 t^2 jmath+2 k, com tem segundos e r em metros. Nessas condições, tente encontrar: o vetor velocidade da partícula v(t), o módulo de v quanto t=2 s.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o vetor posição de uma partícula elétrica dado por:
r(t) = 30t, imath - 4t^2, jmath + 2, k
O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Vetorial, especificamente derivação de vetores posição para encontrar o vetor velocidade. Para resolver, vamos precisar usar a derivada de funções vetoriais e depois calcular o módulo desse vetor velocidade para um instante específico de tempo.

Passo 2

O próximo passo é encontrar o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt . A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de separadamente.

Passo 3

Derivando a componente de ddt(30t) = 30 :
ddt(-4t^2) = -8t
Derivando a componente de ddt(2) = 0 :
v(t) = 30, imath - 8t, jmath + 0, k
Derivando a componente de v(t) = 30, imath - 8t, jmath :
Então, o vetor velocidade fica:
Ou simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade quando |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 . O módulo de um vetor v(2) = 30, imath - 8(2), jmath = 30, imath - 16, jmath é dado por:
|v(2)| = raiz30^2 + (-16)^2 = raiz900 + 256 = raiz1156
Substituindo os valores de na nossa expressão para :
Então,

Resposta

O vetor velocidade da partícula é e o módulo da velocidade quando é .

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