O vetor posição de uma partícula em movirnento no espaço é dado por:
r(t)=[t cos (t)] i+[t sen(t)] j+t k
(b) (Valor: 0,7) Determine o vetor aceleração r(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço, que é dado por:
r(t) = [t cos(t)], i + [t sin(t)], j + [t], k
Nosso objetivo é determinar o vetor aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de vetores posição para encontrar a velocidade e, em seguida, a aceleração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo v(t) = dr(t)dt . Ou seja:
ddt[t cos(t)] = cos(t) - t sin(t)
Vamos derivar cada componente do vetor posição:
  • Para a componente ddt[t sin(t)] = sin(t) + t cos(t) :
ddt[t] = 1
  • Para a componente v(t) = [cos(t) - t sin(t)], i + [sin(t) + t cos(t)], j + [1], k :
  • Para a componente :
Portanto, a velocidade é:

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração, que é a segunda derivada do vetor posição, ou seja, a primeira derivada do vetor velocidade:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente do vetor velocidade:
  • Para a componente ddt[cos(t) - t sin(t)] = -sin(t) - sin(t) - t cos(t) = -2sin(t) - t cos(t) :
ddt[sin(t) + t cos(t)] = cos(t) + cos(t) - t sin(t) = 2cos(t) - t sin(t)
  • Para a componente ddt[1] = 0 :
a(t) = [-2sin(t) - t cos(t)], i + [2cos(t) - t sin(t)], j + [0], k
  • Para a componente :
Portanto, a aceleração é:

Resposta

O vetor aceleração da partícula é:
a(t) = [-2sin(t) - t cos(t)], i + [2cos(t) - t sin(t)], j

Exercícios relacionados