Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar se uma expressão diferencial é exata. A expressão que vamos analisar é:
Para isso, precisamos entender o que significa uma expressão diferencial ser exata. Uma expressão diferencial
é exata se existir uma função
tal que:
O critério de exatidão de Euler nos ajuda a verificar isso sem precisar encontrar a função
.
Passo 2
Agora, vamos identificar as funções
e
na nossa expressão diferencial:
O próximo passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculamos
:
E calculamos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Para a expressão diferencial ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais para todos os valores de
e
.
Passo 5
Observamos que:
Isso significa que, em geral,
, portanto, a expressão diferencial não é exata.
Resposta
A expressão diferencial
não é exata.
Exercícios relacionados
Quais as principais características que distinguem um líquido de um sólido ou de um gás?
O vetor posição de uma partícula em movirnento no espaço é dado por:
(b) (Valor: 0,7) Determine o vetor aceleração
.
Um mol de um gás ideal, inicialmente a 1 atm e
, sofre um aquecimento isobárico até
, seguido de um resfriamento isométrico até à temperatura inicial e finalmente uma compressão isotérmica retornando ao estado inicial. Calcule
e T de todos os estados intermediários e esboce as transformações em diagramas
.
Qual a pressão que uma pessoa de 70 kg exerce sobre uma balança de banheiro, quadrada, de 30 cm por 30 cm ?