Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar se uma expressão diferencial é exata. A expressão que vamos analisar é:
Para isso, precisamos entender o que significa uma expressão diferencial ser exata. Uma expressão diferencial é exata se existir uma função tal que:
O critério de exatidão de Euler nos ajuda a verificar isso sem precisar encontrar a função .

Passo 2

Agora, vamos identificar as funções e na nossa expressão diferencial:
O próximo passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculamos :
E calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Para a expressão diferencial ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais para todos os valores de e .

Passo 5

Observamos que:
Isso significa que, em geral, , portanto, a expressão diferencial não é exata.

Resposta

A expressão diferencial não é exata.

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