Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
c) d z=2 x^2 y d x+x^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar se uma expressão diferencial é exata. A expressão que vamos analisar é:
d z=2 x^2 y , d x + x^2 , d y
Para isso, precisamos entender o que significa uma expressão diferencial ser exata. Uma expressão diferencial partial zpartial x = M e partial zpartial y = N é exata se existir uma função tal que:
O critério de exatidão de Euler nos ajuda a verificar isso sem precisar encontrar a função .

Passo 2

Agora, vamos identificar as funções M = 2x^2 y e N = x^2 e na nossa expressão diferencial:
O próximo passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculamos partial Mpartial y = partialpartial y (2x^2 y) = 2x^2 :
partial Npartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
E calculamos :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Mpartial y = 2x^2 e partial Npartial x = 2x
Para a expressão diferencial ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais para todos os valores de e .

Passo 5

Observamos que:
2x^2 neq 2x a menos que x = 0
Isso significa que, em geral, , portanto, a expressão diferencial não é exata.

Resposta

A expressão diferencial não é exata.

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