Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar se uma expressão diferencial é exata. A expressão que vamos analisar é:
Para isso, precisamos entender o que significa uma expressão diferencial ser exata. Uma expressão diferencial
é exata se existir uma função
tal que:
O critério de exatidão de Euler nos ajuda a verificar isso sem precisar encontrar a função
.
Passo 2
Agora, vamos identificar as funções
e
na nossa expressão diferencial:
O próximo passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculamos
:
E calculamos
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Para a expressão diferencial ser exata, essas duas derivadas devem ser iguais para todos os valores de
e
.
Passo 5
Observamos que:
Isso significa que, em geral,
, portanto, a expressão diferencial não é exata.
Resposta
A expressão diferencial
não é exata.