Os vetores a e b na fig.3-30 têm módulos iguais a 10,0 m e os ângulos são o1 = 30º e o2 = 105º. Determine as componentes (a) x (b) y da soma vetorial r dos dois vetores © o módulo er e (d) o ângulo que r faz com o semi-eixo x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, o a e o b, cada um com módulo de 10,0 metros. Os ângulos que eles formam com o eixo x são 30° e 105°, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar:
(a) As componentes x da soma vetorial r = a + b
(b) As componentes y da soma vetorial r = a + b
© O módulo $ e_r $ da soma vetorial r
(d) O ângulo que r forma com o eixo x positivo
Para isso, vamos usar conceitos de decomposição vetorial, soma de vetores e trigonometria básica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes x de cada vetor. A componente x de um vetor é dada por:
x = módulo times cos(theta) ó
Então, para o vetor a:
xa = 10,0 times cos(30°)
E para o vetor b:
xb = 10,0 times cos(105°)

Passo 3

Agora, vamos calcular as componentes y de cada vetor. A componente y é dada por:
y = módulo times sin(theta) ó
Então, para o vetor a:
ya = 10,0 times sin(30°)
E para o vetor b:
yb = 10,0 times sin(105°)

Passo 4

Com as componentes x e y de cada vetor, podemos somá-las para encontrar as componentes da soma vetorial r.
xr = xa + xb
yr = ya + yb
Isso significa que somamos as componentes x dos vetores a e b para obter $ x_r $, e fazemos o mesmo com as componentes y para obter $ y_r $.

Passo 5

Para encontrar o módulo $ e_r $ da soma vetorial r, usamos o Teorema de Pitágoras:
er
Isso nos dá a magnitude do vetor r.

Passo 6

Por fim, para encontrar o ângulo $ \theta_r $ que o vetor r faz com o eixo x positivo, usamos a função tangente:
thetar
Isso nos dá o ângulo em relação ao eixo x.

Resposta

Após realizar os cálculos:
(a) A componente x da soma vetorial r é aproximadamente -0,66 m.
(b) A componente y da soma vetorial r é aproximadamente 14,42 m.
© O módulo $ e_r $ da soma vetorial r é aproximadamente 14,46 m.
(d) O ângulo que r faz com o eixo x positivo é aproximadamente 94,73°.

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