Os vetores
e
estão sobre uma mesma reta? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e queremos saber se eles estão sobre a mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de vetores colineares na matéria de álgebra vetorial. Precisamos verificar se um vetor é múltiplo do outro, ou seja, se existe um número escalar que, ao multiplicar um dos vetores, resulta no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem colineares. Vetores colineares estão na mesma direção ou em direções opostas e podem ser alinhados sobre a mesma reta. Matematicamente, isso significa que existe um escalar
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar esse escalar
. Para isso, comparamos as componentes correspondentes dos vetores
e
.
Isso nos dá três equações:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de
:
- De
, temos . - De
, substituindo , temos , o que confirma. - De
, substituindo , temos , também confirmando.
Passo 5
Como o valor de
é o mesmo em todas as três equações e as igualdades se sustentam, isso significa que o vetor
é realmente um múltiplo do vetor
.
Resposta
Sim, os vetores
e
estão sobre a mesma reta porque
é igual a 13 vezes
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, determine
(b) .
(b)
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (h) contém as retas
e
.
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pela interseção das retas dadas e é ortogonal, simultaneamente, a elas
(a)
e
(a)
e
Determine três pontos distintos sobre o plano
, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a
, para
(d)
(d)