Os vetores U=(1,3,-7) e V=(13,39,-91) estão sobre uma mesma reta? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e queremos saber se eles estão sobre a mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de vetores colineares na matéria de álgebra vetorial. Precisamos verificar se um vetor é múltiplo do outro, ou seja, se existe um número escalar que, ao multiplicar um dos vetores, resulta no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem colineares. Vetores colineares estão na mesma direção ou em direções opostas e podem ser alinhados sobre a mesma reta. Matematicamente, isso significa que existe um escalar tal que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar esse escalar V = k cdot U Rightarrow (13, 39, -91) = k cdot (1, 3, -7) . Para isso, comparamos as componentes correspondentes dos vetores 13 = k cdot 1 39 = k cdot 3 -91 = k cdot (-7) e .
Isso nos dá três equações:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar o valor de :
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos , o que confirma.
  3. De , substituindo , temos , também confirmando.

Passo 5

Como o valor de é o mesmo em todas as três equações e as igualdades se sustentam, isso significa que o vetor é realmente um múltiplo do vetor .

Resposta

Sim, os vetores e estão sobre a mesma reta porque é igual a 13 vezes , ou seja, .

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