Determinar as equações paramétricas da reta que passa pela interseção das retas dadas e é ortogonal, simultaneamente, a elas
(a) r1:(2,3,6)+t(1,5,6)
e r2: x+36=y-17=z+113

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço:
  • Reta : Passa pelo ponto e tem direção .
  • Reta : Está na forma simétrica , o que nos dá a direção .
Queremos encontrar as equações paramétricas de uma reta que:
  1. Passa pelo ponto de interseção das retas e .
  2. É ortogonal (perpendicular) a ambas as retas e .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Encontrar o ponto de interseção das retas e .
  • Determinar o vetor direção da nova reta usando o produto vetorial das direções de e , já que ele será ortogonal a ambas.
  • Escrever as equações paramétricas da nova reta usando o ponto de interseção e o vetor direção encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas x = 2 + t cdot 1 y = 3 + t cdot 5 z = 6 + t cdot 6 e x = -3 + s cdot 6 y = 1 + s cdot 7 z = -1 + s cdot 13 .
A reta 2 + t = -3 + 6s 3 + 5t = 1 + 7s 6 + 6t = -1 + 13s é dada por:
A reta na forma paramétrica pode ser escrita como:
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para 2 + t = -3 + 6s t = -5 + 6s (Equação A) :
3 + 5(-5 + 6s) = 1 + 7s 3 - 25 + 30s = 1 + 7s -22 + 30s = 1 + 7s 30s - 7s = 1 + 22 23s = 23 s = 1 çã
Agora, substituímos t = -5 + 6(1) t = -5 + 6 t = 1 na segunda equação:
Agora que temos , substituímos de volta na Equação A para encontrar :

Passo 4

Com x = 2 + 1 cdot 1 = 3 y = 3 + 1 cdot 5 = 8 z = 6 + 1 cdot 6 = 12 e , encontramos as coordenadas do ponto de interseção substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Agora vamos determinar o vetor direção da nova reta que queremos. Como a reta deve ser ortogonal a ambas d = d1 times d2 e d1 = (1, 5, 6) d2 = (6, 7, 13) , usamos o produto vetorial dos vetores direção dessas retas:
d = i & j & k 1 & 5 & 6 6 & 7 & 13 = i(5 cdot 13 - 6 cdot 7) - j(1 cdot 13 - 6 cdot 6) + k(1 cdot 7 - 5 cdot 6)
Onde:
d = i(65 - 42) - j(13 - 36) + k(7 - 30) d = i(23) - j(-23) + k(-23) d = (23, 23, -23)
Calculando o produto vetorial:
d = (1, 1, -1)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 23:

Passo 6

Finalmente, com o ponto de interseção x = 3 + t cdot 1 y = 8 + t cdot 1 z = 12 + t cdot (-1) e o vetor direção , escrevemos as equações paramétricas da reta desejada:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 + t y = 8 + t z = 12 - t
onde é um parâmetro real.

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