Determine três pontos distintos sobre o plano pi, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a pi, para
(d) pi:lx=4 t+s y=2+t+3 s z=-3+4 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar três pontos diferentes no plano pi, dois vetores diretores que não estão na mesma direção e um vetor normal ao plano. O plano pi é dado pelas equações paramétricas:
x = 4t + s y = 2 + t + 3s z = -3 + 4t
Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações paramétricas de um plano e como encontrar vetores diretores e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar três pontos diferentes que pertencem ao plano pi. Nas equações paramétricas, t e s são os parâmetros que podemos escolher para obter diferentes pontos. Vamos escolher valores simples para t e s.
Escolha 1: t = 0, s = 0
x = 4(0) + 0 = 0 y = 2 + 0 + 0 = 2 z = -3 + 4(0) = -3
Portanto, o ponto P1 é (0, 2, -3).

Passo 3

Escolha 2: t = 1, s = 0
x = 4(1) + 0 = 4 y = 2 + 1 + 0 = 3 z = -3 + 4(1) = 1
Então, o ponto P2 é (4, 3, 1).

Passo 4

Escolha 3: t = 0, s = 1
x = 4(0) + 1 = 1 y = 2 + 0 + 3(1) = 5 z = -3 + 4(0) = -3
Logo, o ponto P3 é (1, 5, -3).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de t e s nos dão os vetores diretores.
Para o parâmetro t:
vt = 4 1 4
Para o parâmetro s:
vs = 1 3 0
Esses vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, não são colineares, atendendo à condição do exercício.

Passo 6

Por último, vamos encontrar um vetor normal ao plano pi. Sabemos que o vetor normal é perpendicular a ambos os vetores diretores. Para encontrar esse vetor, podemos usar o produto vetorial entre vt e vs.
Calculando o produto vetorial:
n = vt times vs = i & j & k 4 & 1 & 4 1 & 3 & 0 = i(1 cdot 0 - 4 cdot 3) - j(4 cdot 0 - 4 cdot 1) + k(4 cdot 3 - 1 cdot 1)
n = -12 4 11

Resposta

Três pontos distintos no plano pi são P1 (0, 2, -3), P2 (4, 3, 1) e P3 (1, 5, -3). Dois vetores diretores são vt = 4 1 4 e vs = 1 3 0 . Um vetor normal ao plano é n = -12 4 11 .

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