Os vetores u e v são colineares. Calcule v, conhecendo-se u=2 i+j+k e u cdot v=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que os vetores u e v são colineares. Isso significa que v é um múltiplo de u. A gente sabe que u = 2i + j + k e que o produto escalar u cdot v = 3. Para achar v, vamos usar essas informações e alguns conceitos de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, já que os vetores são colineares, podemos escrever v como um múltiplo de u. Ou seja:
v = lambda u
Aqui, lambda é um escalar que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar que foi dado: u cdot v = 3. Substituindo v por lambda u, temos:
u cdot (lambda u) = 3
Como o produto escalar é distributivo, isso fica:
lambda (u cdot u) = 3

Passo 4

Vamos calcular u cdot u. Isso é igual ao quadrado da magnitude de u:
u cdot u = (2)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6

Passo 5

Substituindo na equação anterior:
lambda cdot 6 = 3
Agora, resolvendo para lambda:
lambda = 36 = 12

Passo 6

Agora que temos o valor de lambda, podemos encontrar v:
v = 12 u = 12 (2i + j + k) = i + 12j + 12k

Resposta

O vetor v é igual a i + dfrac12j + dfrac12k.

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