Ache uma equação geral do plano tangente a S no ponto T, nos casos:
S: x^2+y^2+z^2+4 x-4 y-2 z=0 e T=(-4,4,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície descrita pela equação e queremos encontrar a equação geral do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico é aquele que “encosta” na superfície apenas nesse ponto. A gente vai precisar identificar o vetor normal ao plano nesse ponto, que pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos definir a função que representa a superfície:
F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 4y - 2z
O gradiente dessa função, , dá o vetor normal à superfície em qualquer ponto . O gradiente é calculado pelas derivadas parciais em relação a , e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = 2x + 4
partial Fpartial y = 2y - 4
partial Fpartial z = 2z - 2
Então, o gradiente é:
nabla F = (2x + 4, 2y - 4, 2z - 2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto partial Fpartial xg|T = 2(-4) + 4 = -8 + 4 = -4 :
partial Fpartial yg|T = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4
partial Fpartial zg|T = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2
Assim, o vetor normal ao plano tangente no ponto é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto -4(x - (-4)) + 4(y - 4) + 2(z - 2) = 0 , podemos usar a equação do plano na forma -4(x + 4) + 4(y - 4) + 2(z - 2) = 0 , onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Vamos expandir essa equação:
-4x - 16 + 4y - 16 + 2z - 4 = 0
Juntando os termos semelhantes:
-4x + 4y + 2z - 36 = 0
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por -1:
4x - 4y - 2z + 36 = 0

Resposta

A equação geral do plano tangente à superfície 4x - 4y - 2z + 36 = 0 no ponto é:

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