Ache uma equação geral do plano tangente a no ponto , nos casos: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície descrita pela equação e queremos encontrar a equação geral do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico é aquele que “encosta” na superfície apenas nesse ponto. A gente vai precisar identificar o vetor normal ao plano nesse ponto, que pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos definir a função que representa a superfície:
O gradiente dessa função, , dá o vetor normal à superfície em qualquer ponto . O gradiente é calculado pelas derivadas parciais em relação a , e .
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
partial Fpartial zg|T = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2
Assim, o vetor normal ao plano tangente no ponto é .
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto -4(x - (-4)) + 4(y - 4) + 2(z - 2) = 0 , podemos usar a equação do plano na forma -4(x + 4) + 4(y - 4) + 2(z - 2) = 0 , onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Vamos expandir essa equação:
-4x - 16 + 4y - 16 + 2z - 4 = 0
Juntando os termos semelhantes:
-4x + 4y + 2z - 36 = 0
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por -1:
4x - 4y - 2z + 36 = 0
Resposta
A equação geral do plano tangente à superfície 4x - 4y - 2z + 36 = 0 no ponto é: