O vínculo A B, com largura b=50 mm e espessura t=6 mm, é utilizado para suportar a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensão normal média no vínculo é - 140 MPa e que a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois pinos é 80 MPa , determine (a) o diâmetro d dos pinos e (b) a tensão de esmagamento média no vínculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vínculo A B que tem uma largura de b = 50,mm e uma espessura de t = 6,mm. Esse vínculo está segurando a ponta de uma viga horizontal. A gente sabe que a tensão normal média no vínculo é -140,MPa (o sinal negativo indica compressão) e que a tensão de cisalhamento média em cada um dos dois pinos é de 80,MPa. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) O diâmetro d dos pinos.
(b) A tensão de esmagamento média no vínculo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de tensão normal e de cisalhamento, além de fórmulas básicas de resistência dos materiais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tensão normal. A tensão normal ( sigma) é a força por unidade de área que atua perpendicularmente à superfície. No nosso caso, temos uma tensão de compressão no vínculo de -140,MPa. A fórmula é:
sigma = FA
Onde:
  • sigma é a tensão normal,
  • F é a força,
  • A é a área.
A área ( A) do vínculo é calculada multiplicando a largura ( b) pela espessura ( t):
A = b times t = 50,mm times 6,mm = 300,mm^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a força ( F) que está agindo no vínculo usando a tensão normal:
sigma = FA Rightarrow F = sigma times A
Substituindo os valores:
F = 140,MPa times 300,mm^2 = 140 times 10^6,Pa times 300 times 10^-6,m^2 = 42,000,N
Então, a força de compressão é de 42,000,N.

Passo 4

Agora vamos para a parte (a): encontrar o diâmetro d dos pinos. Sabemos que a tensão de cisalhamento ( tau) em cada pino é de 80,MPa. A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
tau = FpinApin
Onde:
  • tau é a tensão de cisalhamento,
  • Fpin é a força em cada pino,
  • Apin é a área da seção transversal do pino.
Como temos dois pinos, a força total F = 42,000,N é dividida igualmente entre eles:
Fpin = F2 = 42,000,N2 = 21,000,N
A área da seção transversal de um pino circular é:
Apin = pi d^24
Vamos reorganizar a equação da tensão de cisalhamento para encontrar d:
tau = Fpinpi d^24 Rightarrow d = raiz4 Fpinpi tau
Substituindo os valores:
d = raiz4 times 21,000,Npi times 80 times 10^6,Pa approx raiz84,000251,327,412 approx raiz0,000334 approx 0,0183,m = 18,3,mm

Passo 5

Agora, para a parte (b): determinar a tensão de esmagamento média no vínculo. A tensão de esmagamento ocorre quando a força compressiva excede a capacidade do material em resistir sem deformar.
A tensão de esmagamento ( sigmaesmagamento) pode ser calculada considerando a força total e a área de contato. Já calculamos a força total F = 42,000,N e a área A = 300,mm^2. Porém, devemos considerar a distribuição da força sobre a área real que pode suportar o esmagamento.
Se a área estiver corretamente dimensionada para a força aplicada, a tensão de esmagamento será igual à tensão normal, que já é de 140,MPa. Portanto, nesse caso, a tensão de esmagamento média no vínculo é de 140,MPa.

Resposta

(a) O diâmetro dos pinos é aproximadamente 18,3,mm.
(b) A tensão de esmagamento média no vínculo é 140,MPa.

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