Um violinista deixa cair um diapasão de freqüência 440Hz. A freqüência que o violinista ouve na iminência do diapasão tocar no chão é de 436Hz. Desprezando o efeito da resistência do ar, a altura da queda é: Dado: velocidade do som = 330 m/s
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Um violinista deixa cair um diapasão que tem frequência de 440 Hz. Enquanto ele observa o diapasão caindo, ele percebe que a frequência muda para 436 Hz. Nosso objetivo é descobrir quão alto o diapasão caiu. Para resolver isso, vamos usar o Efeito Doppler e conceitos de queda livre.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Efeito Doppler. Esse efeito explica como a frequência do som muda quando a fonte do som está se movendo em relação ao observador. No nosso caso, o diapasão está se afastando do violinista enquanto cai, então a frequência que ele ouve diminui.
A fórmula do Efeito Doppler quando a fonte está se movendo e o observador está parado é:
Onde:
- $ f’ $ é a frequência ouvida (436 Hz)
- $ f $ é a frequência emitida (440 Hz)
- $ v_{som} $ é a velocidade do som (330 m/s)
- $ v_{fonte} $ é a velocidade da fonte (o diapasão) que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a velocidade do diapasão ($ v_{fonte} $):
Multiplicando ambos os lados por $ v_{som} + v_{fonte} $:
Distribuindo $ f’ $:
Isolando $ v_{fonte} $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos a velocidade do diapasão no momento próximo de bater no chão, vamos relacionar essa velocidade com a altura da queda usando a equação da queda livre:
Onde:
- $ v $ é a velocidade final (≈3.025 m/s)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9.8 m/s²)
- $ h $ é a altura que queremos encontrar.
Rearranjando a fórmula para encontrar $ h $:
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Resposta
A altura da queda do diapasão é aproximadamente 0,467 metros.