Você deverá estudar a fonte de ruído de um propulsor de um navio que possui velocidade de rotação de 200 rpm e, para isto, usará um modelo de escala 9 vezes menor do que o real. Sabendo que os números adimensionais importantes do problema são Reynolds, Re , e Froude, Fr , quais os valores: (a) da velocidade de rotação do propulsor do modelo, omegam, e (b) da razão entre a viscosidade cinemática do fluido utilizado no modelo, vm, e a viscosidade cinemática da água, vr (ou seja, do problema real)?
Obs: faça U=omega L em que L é um comprimento característico, omega a velocidade de rotação e U a velocidade característica para Re e Fr.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre estudar a fonte de ruído de um propulsor de navio real que gira a 200 rpm (rotações por minuto). Queremos fazer isso usando um modelo que é 9 vezes menor que o real. Os números importantes aqui são o número de Reynolds (Re) e o número de Froude (Fr), que são números adimensionais usados para comparar diferentes sistemas físicos. Para resolver, vamos precisar entender como esses números se relacionam com a velocidade de rotação e a viscosidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os números de Reynolds e Froude.
  • Número de Reynolds (Re): Este número compara as forças de inércia às forças viscosas no fluido. É dado por , onde é a velocidade característica, é o comprimento característico e é a viscosidade cinemática do fluido.
  • Número de Froude (Fr): Este número compara as forças inerciais às forças gravitacionais. É dado por , onde é a aceleração devido à gravidade.
Queremos manter esses números iguais no modelo e no real para que as forças relativas sejam as mesmas.

Passo 3

Sabemos que o modelo é 9 vezes menor que o real, ou seja, Umraizg Lm = Urraizg Lr , onde omegam Lmraizg Lm = omegar Lrraizg Lr é o comprimento do modelo e omegam raizLm = omegar raizLr é o real. A velocidade característica omegam raizLr9 = omegar raizLr está relacionada à velocidade de rotação omegam raizLr3 = omegar raizLr pelo omegam 13 = omegar .
Vamos começar com o número de Froude. Queremos que omegam = 3 omegar :
Substituindo :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular omegam = 3 times 200 = 600 rpm . Sabemos que rpm, então:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede a razão entre as viscosidades cinemáticas Um Lmvm = Ur Lrvr e omegam Lm cdot Lmvm = omegar Lr cdot Lrvr . Queremos que o número de Reynolds seja igual no modelo e no real:
3 omegar cdot (Lr9)^2vm = omegar Lr^2vr
Substituindo 3 omegar cdot Lr^281vm = omegar Lr^2vr :
381 cdot omegar Lr^2vm = omegar Lr^2vr
Sabemos que 127 cdot omegar Lr^2vm = omegar Lr^2vr e 127 vm = 1vr :
27 vm = vr
Simplificando:
vmvr = 127
Dividindo ambos os lados por :
Inverter ambos os lados:
Portanto:

Resposta

(a) A velocidade de rotação do propulsor do modelo é de 600 rpm.
(b) A razão entre a viscosidade cinemática do fluido utilizado no modelo e a da água é .

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