Você precisa descobrir qual o momento de inércia de um componente industrial, girando ao redor de determinado eixo. Seu formato complicado e composição de fios e placas inviabiliza a utilização das ferramentas usuais de cálculo. Sua decisão foi verificar experimentalmente no laboratório qual o momento de inércia. Utilizando um motor elétrico, você girou o objeto até ele atingir uma velocidade angular de 3 rad/s, e o computador do laboratório indicou que a energia fornecida pelo motor ao objeto para que ele atingisse tal velocidade angular foi de 300 kJ. Qual o momento de inércia do componente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir o momento de inércia de um componente industrial que está girando ao redor de um eixo. O momento de inércia é uma medida de como a massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação, e é super importante em física para entender como objetos giram. Para isso, vamos usar a energia rotacional fornecida e a velocidade angular alcançada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia fornecida para colocar o objeto em movimento de rotação é igual à energia cinética rotacional. A fórmula para a energia cinética rotacional é:
E = 12 I omega^2
Onde:
  • $ E $ é a energia fornecida (em Joules),
  • $ I $ é o momento de inércia que queremos encontrar,
  • $ \omega $ é a velocidade angular (em rad/s).

Passo 3

Nosso objetivo é isolar o momento de inércia $ I $ na fórmula. Vamos reorganizar a equação para resolver $ I $:
I

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas. A energia fornecida é 300 kJ, que convertendo para Joules fica:
300 kJ = 300 times 10^3 J = 300,000 J
E a velocidade angular já está em rad/s: $ \omega = 3 rad/s $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
I = 2 times 300,000 J(3 rad/s)^2 = 600,0009 = 66,6666 kg·m^2

Resposta

O momento de inércia do componente industrial é aproximadamente 66.667 kg·m².

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