Vocês são convidados para participar de uma competição. No final de um galpão de 10 m de comprimento, há um baú onde está depositado um vale de 2,5 pontos. O baú está revestido com uma placa de cobre a 200^circ C durante todo tempo e o ar do galpão está a 25^circ C. A temperatura na superfície da pele aumenta instantaneamente para 200^circ C quando em contato com o baú. Considere que a pele torna-se danificada quando alcança 62^circ C A difusividade da pele é 2,5 times 10^-7 m^2 / s. Lembrando que a temperatura da pele e dos tecidos estão a uma temperatura
uniforme igual a 33^circ C. Encontre a profundidade da camada de pele queimada depois de 2 segundos de contato com o baú.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve calor e como ele se propaga na pele quando alguém toca algo muito quente. O assunto principal aqui é transferência de calor por condução, e vamos precisar usar a difusividade térmica da pele para descobrir até onde o calor penetra após um certo tempo. Então, nosso objetivo é encontrar a profundidade da camada de pele queimada depois de 2 segundos de contato com o baú.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Temperatura da placa de cobre:
  • Temperatura ambiente:
  • Temperatura inicial da pele e tecidos:
  • Temperatura que causa dano na pele:
  • Difusividade térmica da pele:
  • Tempo de contato: 2 segundos

Passo 3

Vamos usar a equação da difusão de calor para determinar a profundidade atingida pela temperatura que causa dano ( x = 2 raizalpha t ln(Ti - TinftyTf - Tinfty) ) após 2 segundos. A equação que relaciona a profundidade ( ), difusividade ( ), e tempo ( ) é:
Onde:
  • = Temperatura inicial da pele ( )
  • = Temperatura ambiente ( )
  • = Temperatura que causa dano ( )
  • = Difusividade térmica da pele ( )
  • = Tempo de contato (2 segundos)

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação:
x = 2 raiz2,5 times 10^-7 , m^2/s times 2 , s times ln(33 - 2562 - 25)
Primeiro, calculamos o termo dentro do logaritmo:
33 - 2562 - 25 = 837 approx 0,2162
Agora, tiramos o logaritmo natural desse valor:
ln(0,2162) approx -1,531

Passo 5

Substituindo os valores calculados de volta na equação:
x = 2 raiz2,5 times 10^-7 times 2 times (-1,531)
Note que o logaritmo deu um valor negativo, mas como estamos lidando com distâncias, vamos considerar o valor absoluto:
x = 2 raiz2,5 times 10^-7 times 2 times 1,531
Primeiro, multiplicamos os valores dentro da raiz:
2,5 times 10^-7 times 2 = 5 times 10^-7
5 times 10^-7 times 1,531 approx 7,655 times 10^-7

Passo 6

Agora, calculamos a raiz quadrada:
raiz7,655 times 10^-7 approx 8,754 times 10^-4 , m
Multiplicando por 2:
x = 2 times 8,754 times 10^-4 , m = 1,7508 times 10^-3 , m

Resposta

A profundidade da camada de pele queimada após 2 segundos de contato com o baú é de aproximadamente 1,75 milímetros.

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