Um cilindro curto de latão (
.
e
) de diâmetro
e altura
está inicialmente a uma temperatura uniforme
. Agora, o cilindro é colocado no ar atmosférico a
, onde ocorre transferência de calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor
.
Calcule a) a temperatura do centro do cilindro. b) a temperatura do centro da superficie superior do cilindro e c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Calcule a) a temperatura do centro do cilindro. b) a temperatura do centro da superficie superior do cilindro e c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor, mais especificamente sobre como um cilindro de latão esfria quando colocado no ar. Precisamos calcular:
a) A temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos.
c) A quantidade total de calor que saiu do cilindro nesse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e convecção, além de algumas fórmulas básicas de termodinâmica. Vamos precisar dos dados do cilindro, das propriedades do latão, e das condições do ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
- Densidade do latão (
): - Calor específico (
): = - Condutividade térmica (
): - Difusividade térmica (
): - Diâmetro do cilindro (
): = - Altura do cilindro (
): = - Temperatura inicial (
): - Temperatura ambiente (
): - Coeficiente de transferência de calor por convecção (
): - Tempo (
): 15 minutos =
Passo 3
Vamos começar calculando a temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
Para isso, podemos usar a solução para o resfriamento de um sólido esférico, mas como temos um cilindro, faremos uma adaptação. Porém, para simplificar, vamos considerar uma análise simplificada de resfriamento, assumindo que o cilindro está suficientemente pequeno para aplicar a equação do resfriamento de Newton de forma homogênea.
A letra a) nos pede a temperatura no centro, então vamos usar a seguinte fórmula:
Onde:
-
é a área de superfície do cilindro. -
é o volume do cilindro. -
é a densidade. -
é o calor específico. -
é o coeficiente de convecção. -
é o tempo.
Passo 4
Vamos calcular a área de superfície (
) e o volume (
) do cilindro:
Onde
é o raio do cilindro,
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula da temperatura:
Primeiro, vamos calcular o expoente:
Então:
Como
é praticamente zero, temos:
Isso indica que, com o tempo dado, o cilindro praticamente atinge a temperatura ambiente no centro.
Passo 6
Para a letra b), a temperatura no centro da superfície superior do cilindro, podemos considerar que essa área está diretamente em contato com o ar, então a transferência de calor é mais eficiente ali. Portanto, a temperatura também tende a
.
Passo 7
Agora, na letra c), precisamos calcular a transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos.
Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Arredondando:
Resposta
a) A temperatura do centro do cilindro após 15 minutos �� aproximadamente
.
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos é também aproximadamente
.
c) A transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos é de cerca de
.