Um cilindro curto de latão ( rho=8530 kg / m^3, cp=0,389 kJ / kg. ^circ C, k=110 W / m ^circ C e alpha=3,39 times 10^-5 m^2 / s ) de diâmetro D=8 cm e altura H=15 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme Ti=150 ^circ C. Agora, o cilindro é colocado no ar atmosférico a 20^circ C, onde ocorre transferência de calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h=40 W / m^2 ^circ C.
Calcule a) a temperatura do centro do cilindro. b) a temperatura do centro da superficie superior do cilindro e c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor, mais especificamente sobre como um cilindro de latão esfria quando colocado no ar. Precisamos calcular:
a) A temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos.
c) A quantidade total de calor que saiu do cilindro nesse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e convecção, além de algumas fórmulas básicas de termodinâmica. Vamos precisar dos dados do cilindro, das propriedades do latão, e das condições do ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Densidade do latão ( rho): 8530 , kg/m^3
  • Calor específico ( cp): 0,389 , kJ/kg,°C = 389 , J/kg,°C
  • Condutividade térmica ( k): 110 , W/m,°C
  • Difusividade térmica ( alpha): 3,39 times 10^-5 , m^2/s
  • Diâmetro do cilindro ( D): 8 , cm = 0,08 , m
  • Altura do cilindro ( H): 15 , cm = 0,15 , m
  • Temperatura inicial ( Ti): 150 , °C
  • Temperatura ambiente ( Tinfty): 20 , °C
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção ( h): 40 , W/m^2,°C
  • Tempo ( t): 15 minutos = 900 , s

Passo 3

Vamos começar calculando a temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
Para isso, podemos usar a solução para o resfriamento de um sólido esférico, mas como temos um cilindro, faremos uma adaptação. Porém, para simplificar, vamos considerar uma análise simplificada de resfriamento, assumindo que o cilindro está suficientemente pequeno para aplicar a equação do resfriamento de Newton de forma homogênea.
A letra a) nos pede a temperatura no centro, então vamos usar a seguinte fórmula:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) cdot e^-hArho V cp t
Onde:
  • A é a área de superfície do cilindro.
  • V é o volume do cilindro.
  • rho é a densidade.
  • cp é o calor específico.
  • h é o coeficiente de convecção.
  • t é o tempo.

Passo 4

Vamos calcular a área de superfície ( A) e o volume ( V) do cilindro:
A = 2pi r (r + H)
Onde r é o raio do cilindro, r = D/2 = 0,04 , m.
A = 2pi times 0,04 times (0,04 + 0,15) = 2pi times 0,04 times 0,19 approx 0,048 , m^2
V = pi r^2 H = pi times (0,04)^2 times 0,15 approx 0,000754 , m^3

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da temperatura:
T(t) = 20 + (150 - 20) cdot e^-40 times 0,0488530 times 0,000754 times 389 times 900
Primeiro, vamos calcular o expoente:
hArho V cp = 40 times 0,0488530 times 0,000754 times 389 approx 1.922.500 approx 0,768
Então:
T(t) = 20 + 130 cdot e^-0,768 times 900 approx 20 + 130 cdot e^-691,2
Como e^-691,2 é praticamente zero, temos:
T(t) approx 20 , °C
Isso indica que, com o tempo dado, o cilindro praticamente atinge a temperatura ambiente no centro.

Passo 6

Para a letra b), a temperatura no centro da superfície superior do cilindro, podemos considerar que essa área está diretamente em contato com o ar, então a transferência de calor é mais eficiente ali. Portanto, a temperatura também tende a 20 , °C.

Passo 7

Agora, na letra c), precisamos calcular a transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos.
Usamos a fórmula:
Q = rho V cp (Ti - Tinfty)
Substituindo os valores:
Q = 8530 times 0,000754 times 389 times (150 - 20)
Q = 8530 times 0,000754 times 389 times 130 approx 8530 times 0,000754 times 389 times 130 approx 8530 times 0,000754 times 50.570 approx 8530 times 0,0382 approx 325.646 , J
Arredondando:
Q approx 326 , J

Resposta

a) A temperatura do centro do cilindro após 15 minutos �� aproximadamente 20 , °C.
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos é também aproximadamente 20 , °C.
c) A transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos é de cerca de 326 , J.

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