Um cilindro curto de latão ( . e ) de diâmetro e altura está inicialmente a uma temperatura uniforme . Agora, o cilindro é colocado no ar atmosférico a , onde ocorre transferência de calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor .
Calcule a) a temperatura do centro do cilindro. b) a temperatura do centro da superficie superior do cilindro e c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor, mais especificamente sobre como um cilindro de latão esfria quando colocado no ar. Precisamos calcular:
a) A temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos.
c) A quantidade total de calor que saiu do cilindro nesse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e convecção, além de algumas fórmulas básicas de termodinâmica. Vamos precisar dos dados do cilindro, das propriedades do latão, e das condições do ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Densidade do latão ( ):
  • Calor específico ( ): =
  • Condutividade térmica ( ):
  • Difusividade térmica ( ):
  • Diâmetro do cilindro ( ): =
  • Altura do cilindro ( ): =
  • Temperatura inicial ( ):
  • Temperatura ambiente ( ):
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção ( ):
  • Tempo ( ): 15 minutos =

Passo 3

Vamos começar calculando a temperatura no centro do cilindro após 15 minutos.
Para isso, podemos usar a solução para o resfriamento de um sólido esférico, mas como temos um cilindro, faremos uma adaptação. Porém, para simplificar, vamos considerar uma análise simplificada de resfriamento, assumindo que o cilindro está suficientemente pequeno para aplicar a equação do resfriamento de Newton de forma homogênea.
A letra a) nos pede a temperatura no centro, então vamos usar a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a área de superfície do cilindro.
  • é o volume do cilindro.
  • é a densidade.
  • é o calor específico.
  • é o coeficiente de convecção.
  • é o tempo.

Passo 4

Vamos calcular a área de superfície ( ) e o volume ( ) do cilindro:
Onde é o raio do cilindro, .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da temperatura:
Primeiro, vamos calcular o expoente:
Então:
Como é praticamente zero, temos:
Isso indica que, com o tempo dado, o cilindro praticamente atinge a temperatura ambiente no centro.

Passo 6

Para a letra b), a temperatura no centro da superfície superior do cilindro, podemos considerar que essa área está diretamente em contato com o ar, então a transferência de calor é mais eficiente ali. Portanto, a temperatura também tende a .

Passo 7

Agora, na letra c), precisamos calcular a transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos.
Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Arredondando:

Resposta

a) A temperatura do centro do cilindro após 15 minutos �� aproximadamente .
b) A temperatura no centro da superfície superior do cilindro após 15 minutos é também aproximadamente .
c) A transferência total de calor a partir do cilindro após 15 minutos é de cerca de .

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