Um cilindro sólido de raio b está inicialmente a temperatura F^*(r). Para t>0, calor é gerado na região a uma taxa constante de g0 por unidade de volume . A superfície externa está trocando calor por convecção com o meio externo cuja temperatura é Tinfty. Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura T(r, t) no sólido nas seguintes situações. a) Para coeficiente de convecção de calor finito, h. b) Para coeficiente de convecção de calor infinito, h infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro sólido com raio inicialmente na temperatura . A gente quer descobrir como a temperatura varia dentro desse cilindro ao longo do tempo, considerando que calor está sendo gerado dentro dele a uma taxa constante por unidade de volume. Além disso, a superfície do cilindro está trocando calor com o ambiente externo, cuja temperatura é . Para resolver isso, vamos usar a Equação do Calor com geração interna e condição de contorno de convecção. Precisaremos entender conceitos de transferência de calor e resolver equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. A equação considerando a geração de calor interna é:
partial Tpartial t = alpha ( 1r partialpartial r( r partial Tpartial r ) ) + g0k
Aqui, é a difusividade térmica e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir que a temperatura atinge um estado estacionário, ou seja, não depende mais do tempo ( 0 = alpha ( 1r ddr( r dTdr ) ) + g0k ). Assim, a equação simplifica para:
1r ddr( r dTdr ) = -g0alpha k
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar ddr( r dTdr ) = -g0 ralpha k . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r dTdr = -g02 alpha k r^2 + C1 :
dTdr = -g02 alpha k r + C1r
Integrando em relação a :
Dividindo por :

Passo 5

Integramos novamente para encontrar T(r) = -g04 alpha k r^2 + C1 ln r + C2 :

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes - k dTdr |r=b = h ( T(b) - Tinfty ) e - k ( -g02 alpha k b + C1b ) = h ( -g04 alpha k b^2 + C1 ln b + C2 - Tinfty ) . Na superfície , a troca de calor por convecção está dada por:
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma equação para resolver e .

Passo 7

Assumindo que T(r) = -g04 alpha k r^2 + C2 para evitar singularidades no centro ( - k ( -g02 alpha k b ) = h ( -g04 alpha k b^2 + C2 - Tinfty ) ), simplificamos a expressão de g0 b2 alpha = h ( -g0 b^24 alpha k + C2 - Tinfty ) :
C2 = Tinfty + g0 b^24 alpha k + g0 b2 alpha h
Aplicando a condição de contorno na superfície:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 8

Finalmente, substituímos T(r) = Tinfty + g0 b^24 alpha k + g0 b2 alpha h - g04 alpha k r^2 na expressão de :

Resposta

A distribuição de temperatura T(r, t) = Tinfty + g0 b^24 alpha k + g0 b2 alpha h - g04 alpha k r^2 no cilindro, considerando um coeficiente de convecção finito , é dada por:

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