Um cilindro sólido de raio b está inicialmente a temperatura . Para , calor é gerado na região a uma taxa constante de por unidade de volume . A superfície externa está trocando calor por convecção com o meio externo cuja temperatura é . Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura no sólido nas seguintes situações. a) Para coeficiente de convecção de calor finito, h. b) Para coeficiente de convecção de calor infinito, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro sólido com raio inicialmente na temperatura . A gente quer descobrir como a temperatura varia dentro desse cilindro ao longo do tempo, considerando que calor está sendo gerado dentro dele a uma taxa constante por unidade de volume. Além disso, a superfície do cilindro está trocando calor com o ambiente externo, cuja temperatura é . Para resolver isso, vamos usar a Equação do Calor com geração interna e condição de contorno de convecção. Precisaremos entender conceitos de transferência de calor e resolver equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. A equação considerando a geração de calor interna é:
Aqui, é a difusividade térmica e é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos assumir que a temperatura atinge um estado estacionário, ou seja, não depende mais do tempo (). Assim, a equação simplifica para:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :
Passo 5
Integramos novamente para encontrar :
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e . Na superfície , a troca de calor por convecção está dada por:
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma equação para resolver e .
Passo 7
Assumindo que para evitar singularidades no centro (), simplificamos a expressão de :
Aplicando a condição de contorno na superfície:
Simplificando:
Resolvendo para :
Passo 8
Finalmente, substituímos na expressão de :
Resposta
A distribuição de temperatura no cilindro, considerando um coeficiente de convecção finito , é dada por: