Um cilindro sólido de raio b está inicialmente a temperatura . Para , calor é gerado na região a uma taxa constante de por unidade de volume . A superfície externa está trocando calor por convecção com o meio externo cuja temperatura é . Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura no sólido nas seguintes situações. a) Para coeficiente de convecção de calor finito, h. b) Para coeficiente de convecção de calor infinito, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro sólido com raio inicialmente na temperatura . A gente quer descobrir como a temperatura varia dentro desse cilindro ao longo do tempo, considerando que calor está sendo gerado dentro dele a uma taxa constante por unidade de volume. Além disso, a superfície do cilindro está trocando calor com o ambiente externo, cuja temperatura é . Para resolver isso, vamos usar a Equação do Calor com geração interna e condição de contorno de convecção. Precisaremos entender conceitos de transferência de calor e resolver equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Equação do Calor em coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro. A equação considerando a geração de calor interna é:
Aqui, é a difusividade térmica e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos assumir que a temperatura atinge um estado estacionário, ou seja, não depende mais do tempo ( ). Assim, a equação simplifica para:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :

Passo 5

Integramos novamente para encontrar :

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e . Na superfície , a troca de calor por convecção está dada por:
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma equação para resolver e .

Passo 7

Assumindo que para evitar singularidades no centro ( ), simplificamos a expressão de :
Aplicando a condição de contorno na superfície:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A distribuição de temperatura no cilindro, considerando um coeficiente de convecção finito , é dada por:

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