Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário , onde é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine © o número total de rotações, no sentido horário e anti-horário, dadas pelo volante durante os primeiros 14 segundos de aplicação do torque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um volante que está girando livremente a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, alguém começa a aplicar um torque (uma força que faz o volante girar) no sentido anti-horário, e esse torque varia com o tempo de acordo com a fórmula . A parada é descobrir quantas rotações o volante faz no sentido horário e no sentido anti-horário durante os primeiros 14 segundos dessa aplicação de torque. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque isso vai facilitar nossos cálculos. Sabemos que:
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Como o volante está girando no sentido horário, vamos considerar esse sentido como negativo. Então:

Passo 3

Agora, vamos entender a aceleração angular que está sendo aplicada. A fórmula dada é , onde é o tempo em segundos. Isso significa que a aceleração angular está aumentando linearmente com o tempo no sentido anti-horário (positivo).
Para encontrar a velocidade angular em qualquer instante , vamos integrar a aceleração angular:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade angular , vamos encontrar o deslocamento angular durante os 14 segundos. Para isso, integramos a velocidade angular:

Passo 5

Vamos calcular o deslocamento angular total após 14 segundos:
Primeiro, calculamos cada parte:
Então, somando as duas partes:

Passo 6

Agora, vamos converter o deslocamento angular total de radianos para rotações completas. Sabemos que uma rotação completa é radianos. Então:
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O sinal negativo indica que o número total de rotações é no sentido horário.

Resposta

Durante os primeiros 14 segundos, o volante realiza aproximadamente 129 rotações no sentido horário e 0 rotações no sentido anti-horário.

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