Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante t= 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário alpha=4 t rad / s^2, onde t é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine (a) o tempo necessário para o volante reduzir a sua velocidade angular no sentido horário para 900 rpm

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um volante que está girando livremente a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, começa a agir um torque no sentido anti-horário que faz o volante desacelerar. A aceleração angular desse torque é dada por rad/s², onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo leva para o volante reduzir sua velocidade angular de 1800 rpm para 900 rpm no sentido horário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque as fórmulas de movimento angular usam radianos.
Sabemos que:
1 , rpm = 2pi , rad60 , s = pi30 , rad/s
Então,
1800 , rpm = 1800 times pi30 = 60pi , rad/s
900 , rpm = 900 times pi30 = 30pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos entender que a aceleração angular alpha = domegadt está agindo no sentido anti-horário, ou seja, ela está diminuindo a velocidade angular do volante no sentido horário. Então, a aceleração efetiva que está desacelerando o volante é negativa em relação ao sentido original de rotação.
A relação entre a aceleração angular e a variação da velocidade angular é dada por:
onde é a velocidade angular.

Passo 4

Como a aceleração angular domegadt = -4t rad/s² está no sentido anti-horário, e a velocidade inicial está no sentido horário, podemos escrever:
O sinal negativo indica que a aceleração está diminuindo a velocidade angular no sentido horário.

Passo 5

Vamos integrar a equação diferencial para encontrar a velocidade angular integral domega = integral -4t , dt . Integramos ambos os lados em relação ao tempo omega(t) = -2t^2 + C :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Determinar a constante omega(0) = -2(0)^2 + C = C = 60pi , rad/s usando a condição inicial. No instante omega(t) = 60pi - 2t^2 , a velocidade angular é rad/s.
Então, a equação da velocidade angular fica:

Passo 7

Queremos encontrar o tempo 30pi = 60pi - 2t^2 para que a velocidade angular seja reduzida para 2t^2 = 60pi - 30pi rad/s.
2t^2 = 30pi
t^2 = 30pi2 = 15pi
t = raiz15pi

Resposta

O tempo necessário para o volante reduzir sua velocidade angular de 1800 rpm para 900 rpm no sentido horário é segundos, aproximadamente segundos.

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