Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante t= 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário alpha=4 t rad / s^2, onde t é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine (b) o tempo necessário para o volante inverter o seu sentido de rotação

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um volante que está girando livremente a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, nesse instante inicial ( t = 0), um torque é aplicado no sentido anti-horário, gerando uma aceleração angular que varia com o tempo segundo a fórmula alpha = 4 t , rad/s^2. Nosso objetivo é determinar o tempo necessário para que o volante mude completamente o sentido de rotação, ou seja, para que ele passe de girar no sentido horário para girar no sentido anti-horário.
Para resolver esse problema, vamos precisar dos conceitos de conversão de unidades de velocidade angular, integração da aceleração angular para encontrar a velocidade angular em função do tempo, e a condição para que a velocidade angular se torne zero, indicando a inversão do sentido de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular inicial de rpm para rad/s. Sabemos que:
1 , rpm = 2pi , rad60 , s
Portanto:
omega0 = 1800 , rpm times 2pi60 = 1800 times pi30 = 60pi , rad/s
Como o volante está girando no sentido horário, consideramos a velocidade angular inicial como negativa:
omega0 = -60pi , rad/s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular em função do tempo. Sabemos que a aceleração angular alpha é a derivada da velocidade angular:
alpha = domegadt
Dada a aceleração angular:
alpha = 4t , rad/s^2
Integrando a aceleração para obter a velocidade:
omega(t) = omega0 + integral0^t alpha , dt = omega0 + integral0^t 4t , dt
Calculando a integral:
omega(t) = omega0 + 2t^2

Passo 4

Queremos encontrar o tempo t em que o volante inverte o sentido de rotação. Isso ocorre quando a velocidade angular omega(t) passa de negativa para positiva, ou seja, quando omega(t) = 0.
Então, temos:
0 = omega0 + 2t^2
Substituindo o valor de omega0:
0 = -60pi + 2t^2

Passo 5

Vamos resolver a equação para t:
2t^2 = 60pi
t^2 = 60pi2
t^2 = 30pi
t = raiz30pi
Calculando o valor numérico:
t approx raiz30 times 3,1416
t approx raiz94,248
t approx 9,71 , segundos

Resposta

O tempo necessário para o volante inverter o seu sentido de rotação é de aproximadamente 9,71 segundos.

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