O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm³ é igual a
a) 38π cm³.
b) 36π cm³.
c) 34π cm³.
d) 32π cm³.
e) 30π cm³

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir o volume de uma esfera que está dentro de um cubo. O enunciado nos dá que o volume do cubo é 216 cm³. Para resolver, vamos usar conceitos de volume de cubo e de esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o lado do cubo. Sabemos que o volume do cubo é dado por $ V_{cubo} = L^3 $, onde $ L $ é o lado. Aqui, $ V_{cubo} = 216 $ cm³.
Então, $ L^3 = 216 $.
Para encontrar $ L $, tiramos a raiz cúbica de 216:
$ L = \sqrt[3]{216} = 6 $ cm.

Passo 3

Agora que sabemos que o lado do cubo é 6 cm, vamos pensar na esfera inscrita. Uma esfera inscrita em um cubo toca todas as faces do cubo. Isso significa que o diâmetro da esfera é igual ao lado do cubo.
Então, o diâmetro $ D $ da esfera é 6 cm. O raio $ R $ é metade disso:
$ R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ cm.

Passo 4

Com o raio da esfera, podemos calcular o volume da esfera usando a fórmula:
$ V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi R^3 $.
Substituindo $ R = 3 $ cm:
$ V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi $ cm³.

Resposta

O volume da esfera é igual a $ 36\pi $ cm³. (Alternativa b)

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