O volume parcial molar do etanol em uma mistura com água a
é
onde
é o valor numérico da molalidade do etanol. Faça um gráfico do volume parcial molar do etanol em função de
e identifique a composição em que o volume parcial molar é mínimo (Sugestäo: Encontra-se um valor mais preciso usando o cálculo.) Expresse essa composição em fração molar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre volume parcial molar do etanol em uma mistura com água a
. A fórmula que relaciona o volume parcial molar do etanol (
) com a molalidade do etanol (
) é:
O objetivo é desenhar um gráfico de
em função de
e encontrar a composição onde esse volume é mínimo. Para isso, precisaremos usar cálculo para encontrar o valor de
que minimiza
. Depois, vamos converter essa molalidade para fração molar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa volume parcial molar. É o volume que uma quantidade específica de um componente adiciona a uma mistura. No caso, estamos olhando para como o volume do etanol varia conforme aumenta a sua quantidade na mistura (expressa por
).
Passo 3
Para encontrar o valor de
que minimiza
, precisamos encontrar o mínimo da função quadrática dada. Vamos usar cálculo: derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar a função:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de
que minimiza
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, vamos verificar se realmente é um mínimo. Para isso, olhamos a segunda derivada:
Como a segunda derivada é positiva, isso confirma que temos um mínimo.
Passo 6
Com o valor de
encontrado, podemos calcular o volume parcial molar mínimo:
Vamos calcular passo a passo:
Passo 7
Agora, vamos converter a molalidade
para fração molar. A molalidade (
) é definida como moles de soluto por quilograma de solvente. Para converter para fração molar (
), usamos a fórmula:
Assumindo que temos 1 kg de água, vamos calcular:
- Moles de etanol:
- Moles de água (massa molar da água = 18,015 g/mol):
- Fração molar do etanol:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A composição em que o volume parcial molar do etanol é mínimo ocorre quando a fração molar do etanol é aproximadamente
.