O volume parcial molar do etanol em uma mistura com água a 25^circ C é
V etanol /(mL mol^-1)=54,6664-0,72788 b+0,084768 b^2
onde b é o valor numérico da molalidade do etanol. Faça um gráfico do volume parcial molar do etanol em função de b e identifique a composição em que o volume parcial molar é mínimo (Sugestäo: Encontra-se um valor mais preciso usando o cálculo.) Expresse essa composição em fração molar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre volume parcial molar do etanol em uma mistura com água a 25^circ C. A fórmula que relaciona o volume parcial molar do etanol ( Vetanol) com a molalidade do etanol ( b) é:
Vetanol = 54,6664 - 0,72788,b + 0,084768,b^2
O objetivo é desenhar um gráfico de Vetanol em função de b e encontrar a composição onde esse volume é mínimo. Para isso, precisaremos usar cálculo para encontrar o valor de b que minimiza Vetanol. Depois, vamos converter essa molalidade para fração molar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa volume parcial molar. É o volume que uma quantidade específica de um componente adiciona a uma mistura. No caso, estamos olhando para como o volume do etanol varia conforme aumenta a sua quantidade na mistura (expressa por b).

Passo 3

Para encontrar o valor de b que minimiza Vetanol, precisamos encontrar o mínimo da função quadrática dada. Vamos usar cálculo: derivar Vetanol em relação a b e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar a função:
dVetanoldb = -0,72788 + 2 times 0,084768,b
Simplificando:
dVetanoldb = -0,72788 + 0,169536,b

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de b que minimiza Vetanol:
-0,72788 + 0,169536,b = 0
Resolvendo para b:
0,169536,b = 0,72788
b = 0,727880,169536 approx 4,291

Passo 5

Agora que temos o valor de b approx 4,291, vamos verificar se realmente é um mínimo. Para isso, olhamos a segunda derivada:
d^2Vetanoldb^2 = 0,169536
Como a segunda derivada é positiva, isso confirma que temos um mínimo.

Passo 6

Com o valor de b encontrado, podemos calcular o volume parcial molar mínimo:
Vetanol = 54,6664 - 0,72788 times 4,291 + 0,084768 times (4,291)^2
Vamos calcular passo a passo:
Vetanol = 54,6664 - 0,72788 times 4,291 + 0,084768 times 18,366
Vetanol = 54,6664 - 3,118 + 1,554
Vetanol approx 54,6664 - 3,118 + 1,554 approx 53,1024, mL/mol

Passo 7

Agora, vamos converter a molalidade b para fração molar. A molalidade ( b) é definida como moles de soluto por quilograma de solvente. Para converter para fração molar ( x), usamos a fórmula:
xetanol = netanolnetanol + nágua á
Assumindo que temos 1 kg de água, vamos calcular:
  1. Moles de etanol:
netanol = b times kg de água = 4,291, mol/kg times 1, kg = 4,291, mol á
  1. Moles de água (massa molar da água = 18,015 g/mol):
nágua = 1000, g18,015, g/mol approx 55,51, mol á
  1. Fração molar do etanol:
xetanol = 4,2914,291 + 55,51 approx 4,29159,801 approx 0,0718
Convertendo para porcentagem:
xetanol approx 7,18%

Resposta

A composição em que o volume parcial molar do etanol é mínimo ocorre quando a fração molar do etanol é aproximadamente 7,18%.

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