O Volume parcial molar de K2 SO4(aq) a 298 K é dado por tildeV=32,280+18,216(nK2 SO4)^1 / 2. Utilize a Equação de Gibbs-Duhem e derive uma equação para o volume molar parcial da água nesta mistura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o volume parcial molar do sulfato de potássio, K2SO4(aq), a 298 K é dado por tildeV = 32,280 + 18,216(nK2SO4)^1/2. A gente precisa usar a Equação de Gibbs-Duhem para encontrar uma equação que descreva o volume molar parcial da água nessa mistura.
Então, vamos precisar entender:
  • Volume parcial molar: que é o volume que uma quantidade adicional de uma substância ocupa na mistura.
  • Equação de Gibbs-Duhem: que relaciona como as propriedades de componentes em uma mistura mudam entre si quando a composição varia, mantendo temperatura e pressão constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Equação de Gibbs-Duhem funciona. Para uma mistura de dois componentes, água (componente 1) e sulfato de potássio (componente 2), a equação fica:
x1 dtildeV1 + x2 dtildeV2 = 0
Aqui:
  • x1 e x2 são as frações molares da água e do sulfato de potássio, respectivamente.
  • tildeV1 e tildeV2 são os volumes parciais molares da água e do sulfato de potássio.
Essa equação nos diz que, se mudarmos a quantidade de um componente, o volume parcial do outro componente vai mudar de forma que a combinação ponderada desses volumes permaneça constante.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar tildeV1, o volume molar parcial da água. Para isso, podemos rearranjar a Equação de Gibbs-Duhem:
x1 dtildeV1 = -x2 dtildeV2
Dividindo ambos os lados por x1, temos:
dtildeV1 = -x2x1 dtildeV2
Como estamos trabalhando com apenas dois componentes, sabemos que x1 = 1 - x2. Isso simplifica nossa equação para:
dtildeV1 = -x21 - x2 dtildeV2

Passo 4

Agora, precisamos expressar x2 em termos da quantidade de K2SO4. Sabemos que a fração molar é dada por:
x2 = nK2SO4ntotal
Onde ntotal = nH2O + nK2SO4.
Mas, sem informações sobre nH2O, vamos assumir que a mistura é diluída o suficiente para que x2 seja pequeno. Isso nos permite simplificar os cálculos, focando na relação entre V1 e V2.

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de x2 na equação de dtildeV1:
dtildeV1 = -nK2SO4ntotal - nK2SO4 dtildeV2
Para simplificar, se assumirmos que ntotal approx nH2O, então:
dtildeV1 approx -nK2SO4nH2O dtildeV2

Passo 6

Dado que tildeV2 = 32,280 + 18,216 (nK2SO4)^1/2, vamos derivar tildeV2 em relação a nK2SO4:
dtildeV2dnK2SO4 = 18,2162 (nK2SO4)^-1/2 = 9,108 (nK2SO4)^-1/2

Passo 7

Substituindo dtildeV2 na equação de dtildeV1:
dtildeV1 = -nK2SO4nH2O cdot 9,108 (nK2SO4)^-1/2 dnK2SO4
Simplificando:
dtildeV1 = -9,108nH2O (nK2SO4)^1/2 dnK2SO4

Passo 8

Para encontrar tildeV1, integramos ambos os lados:
tildeV1 = -9,108nH2O integral (nK2SO4)^1/2 dnK2SO4 + C
A integral de (n)^1/2 dn é:
23 n^3/2
Então, substituindo:
tildeV1 = -9,108nH2O cdot 23 (nK2SO4)^3/2 + C
Simplificando:
tildeV1 = -12,072nH2O (nK2SO4)^3/2 + C

Passo 9

Determinar a constante de integração C requer considerar condições quando nK2SO4 = 0. Nesse caso, a mistura é apenas água pura, então tildeV1 deve ser igual ao volume molar da água pura, tildeV1^0. Então:
tildeV1^0 = C
Portanto, a equação final para o volume molar parcial da água é:
tildeV1 = tildeV1^0 - 12,072nH2O (nK2SO4)^3/2

Resposta

A equação para o volume molar parcial da água na mistura é:
tildeV1 = tildeV1^0 - 12,072nH2O (nK2SO4)^3/2
Onde tildeV1^0 é o volume molar da água pura e nH2O é a quantidade de mols de água na mistura.

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