O Volume parcial molar de
a 298 K é dado por
. Utilize a Equação de Gibbs-Duhem e derive uma equação para o volume molar parcial da água nesta mistura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o volume parcial molar do sulfato de potássio,
, a 298 K é dado por
. A gente precisa usar a Equação de Gibbs-Duhem para encontrar uma equação que descreva o volume molar parcial da água nessa mistura.
Então, vamos precisar entender:
- Volume parcial molar: que é o volume que uma quantidade adicional de uma substância ocupa na mistura.
- Equação de Gibbs-Duhem: que relaciona como as propriedades de componentes em uma mistura mudam entre si quando a composição varia, mantendo temperatura e pressão constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Equação de Gibbs-Duhem funciona. Para uma mistura de dois componentes, água (componente 1) e sulfato de potássio (componente 2), a equação fica:
Aqui:
-
e são as frações molares da água e do sulfato de potássio, respectivamente. -
e são os volumes parciais molares da água e do sulfato de potássio.
Essa equação nos diz que, se mudarmos a quantidade de um componente, o volume parcial do outro componente vai mudar de forma que a combinação ponderada desses volumes permaneça constante.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, o volume molar parcial da água. Para isso, podemos rearranjar a Equação de Gibbs-Duhem:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Como estamos trabalhando com apenas dois componentes, sabemos que
. Isso simplifica nossa equação para:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
em termos da quantidade de
. Sabemos que a fração molar é dada por:
Onde
.
Mas, sem informações sobre
, vamos assumir que a mistura é diluída o suficiente para que
seja pequeno. Isso nos permite simplificar os cálculos, focando na relação entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
na equação de
:
Para simplificar, se assumirmos que
, então:
Passo 6
Dado que
, vamos derivar
em relação a
:
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar
, integramos ambos os lados:
A integral de
é:
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Determinar a constante de integração
requer considerar condições quando
. Nesse caso, a mistura é apenas água pura, então
deve ser igual ao volume molar da água pura,
. Então:
Portanto, a equação final para o volume molar parcial da água é:
Resposta
A equação para o volume molar parcial da água na mistura é:
Onde
é o volume molar da água pura e
é a quantidade de mols de água na mistura.