Write down the one-dimensional transient heat conduction equation for a plane wall with constant thermal conductivity and heat generation in its simplest form, and indicate what each variable represents.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever a equação de condução de calor unidimensional transitória para uma parede plana que tem condutividade térmica constante e geração de calor. Isso está dentro do estudo de transferência de calor, especificamente na condução de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação geral de conservação de energia para condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral da condução de calor em uma dimensão, que é dada por:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + q''' rho cp
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a difusividade térmica, é a coordenada espacial, é a taxa de geração de calor por unidade de volume, é a densidade do material, e é a capacidade térmica à pressão constante.

Passo 3

Como estamos lidando com uma parede plana e considerando que a condutividade térmica alpha = krho cp é constante, podemos relacionar a difusividade térmica partial Tpartial t = krho cp partial^2 Tpartial x^2 + q''' rho cp com a condutividade térmica pela fórmula:
Substituindo isso na equação anterior, temos:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, podemos multiplicar toda a equação por rho cp partial Tpartial t = k partial^2 Tpartial x^2 + q''' para eliminar esse termo do denominador:
Mas, para manter a equação na forma mais simples e focar no comportamento da temperatura, geralmente mantemos a equação dividida por , resultando na forma que já vimos.

Resposta

A equação de condução de calor unidimensional transitória para uma parede plana com condutividade térmica constante e geração de calor é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + q''' rho cp
Onde:
  • é a temperatura,
  • é o tempo,
  • é a difusividade térmica ( ),
  • é a coordenada espacial na direção da condução,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade térmica à pressão constante.

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