The steady-state temperature distribution in a one-dimensional wall of thermal conductivity k and thickness L is of the form T=a x^3+b x^2+c x+d. Derive expressions for the heat generation rate per unit volume in the wall.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma distribuição de temperatura em estado estacionário numa parede unidimensional com condutividade térmica e espessura . A temperatura é dada pela função . Nosso objetivo aqui é descobrir a expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume nessa parede. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor em estado estacionário para uma dimensão com geração interna de calor. A equação é:
d^2 Tdx^2 + q'''k = 0
Aqui, é a segunda derivada da temperatura em relação à posição , é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica da parede.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da temperatura T = a x^3 + b x^2 + c x + d em relação a dTdx = 3a x^2 + 2b x + c . Dada a expressão de d^2 Tdx^2 = 6a x + 2b :
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Em seguida, calculamos a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos a segunda derivada que encontramos na equação de condução de calor:
6a x + 2b + q'''k = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar q'''k = - (6a x + 2b) para encontrar a expressão desejada:
q''' = -k (6a x + 2b)
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é:
q''' = -k (6a x + 2b)

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