The steady-state temperature distribution in a one-dimensional wall of thermal conductivity
and thickness
is of the form
. Derive expressions for the heat generation rate per unit volume in the wall.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma distribuição de temperatura em estado estacionário numa parede unidimensional com condutividade térmica
e espessura
. A temperatura é dada pela função
. Nosso objetivo aqui é descobrir a expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume nessa parede. Para isso, vamos usar a equação de condução de calor com geração interna.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor em estado estacionário para uma dimensão com geração interna de calor. A equação é:
Aqui,
é a segunda derivada da temperatura em relação à posição
,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e
é a condutividade térmica da parede.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da temperatura
em relação a
. Dada a expressão de
:
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Em seguida, calculamos a segunda derivada:
Passo 4
Substituímos a segunda derivada que encontramos na equação de condução de calor:
Passo 5
Agora, vamos isolar
para encontrar a expressão desejada:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é: