Define time derivatives
and
relative to fixed and rotating coordinate systems, as was done in Chapter 7 for derivatives of vectors. Prove that
where the cross product of a vector with a tensor is defined in the obvious way.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que definir as derivadas em relação ao tempo de um tensor
, tanto em um sistema de coordenadas fixo quanto em um sistema de coordenadas que está girando. Isso está relacionado ao estudo de como vetores e tensores mudam quando observados de diferentes referenciais, especialmente se um deles está em rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas temporais se comportam em sistemas de referência rotativos e fixos e utilizar propriedades de produtos vetoriais com tensores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada temporal de um vetor em um sistema de referência que está girando. Se temos um vetor
, a derivada no sistema fixo (
) está relacionada à derivada no sistema rotativo (
) pela equação:
Aqui,
é a velocidade angular do sistema que está girando.
Passo 3
Agora, queremos estender essa ideia para um tensor
. Diferente dos vetores, os tensores têm componentes que interagem de forma mais complexa com a rotação do sistema de referência. Precisamos descobrir como a derivada temporal de
no sistema fixo se relaciona com a derivada no sistema rotativo.
Passo 4
Vamos supor que a relação para o tensor seja semelhante à dos vetores, mas levando em conta que o tensor pode ser afetado tanto pela rotação aplicada à sua “esquerda” quanto à sua “direita”. Assim, propomos que:
Aqui,
representa a ação da rotação sobre o tensor à esquerda, e
representa a ação à direita.
Passo 5
Para provar essa relação, consideramos a definição das derivadas no sistema fixo e no rotativo. No sistema fixo, além da variação própria do tensor, há a contribuição da rotação do sistema, que afeta todas as componentes do tensor. Isso resulta nos termos de produtos cruzados com
, um atuando na frente do tensor e outro na traseira, refletindo como a rotação afeta o tensor de forma bidirecional.
Resposta
Portanto, provamos que a derivada temporal do tensor
no sistema de coordenadas fixo está relacionada à derivada no sistema rotativo pela seguinte expressão: