Se X sim N(mu ; sigma^2), ache : P(|X-mu|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, . A gente precisa encontrar a probabilidade de estar a menos de um desvio padrão da média, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição normal padrão e a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a variável Z = X - musigma para converter essa probabilidade em termos da distribuição normal padrão , que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
Isso nos ajuda a trabalhar com tabelas padrão que fornecem probabilidades para .

Passo 3

Agora, queremos calcular P(|X - mu| < sigma) = P(-sigma < X - mu < sigma) . Vamos reescrever essa desigualdade usando a variável padronizada P(-1 < X - musigma < 1) = P(-1 < Z < 1) :
Dividindo todos os termos por , obtemos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar P(Z < 1) approx 0,8413 e P(Z < -1) approx 0,1587 . Isso representa a área sob a curva normal padrão entre e . Consultando a tabela Z, sabemos que:

Passo 5

Para encontrar a probabilidade entre -1 e 1, subtraímos a probabilidade de P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 da probabilidade de :

Resposta

A probabilidade é aproximadamente .

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