; quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a , e , quando , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as variáveis e como elas se relacionam:
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos calcular :
Sabemos que:
Como e , temos:
Então:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular :
Como , temos:
E:
Sabemos que:
Então:
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular :
Como , temos:
E:
Sabemos que:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões que encontramos:
Primeiro, calculemos , e :
Agora, , então (sabendo que ).
Substituindo na derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :
E para a derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em , e são:

Exercícios relacionados

Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI por meio da transformada de Laplace.
Calcule as expressões:
Calcular pela definição o valor de se
Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
. Lembre que