Y=w tg^-1(u v), u=r+s, v=s+t, w=t+r; partial Ypartial r, partial Ypartial s, partial Ypartial t quando r=1, s=0, t=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de em relação a , e , quando , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as variáveis e como elas se relacionam:
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos calcular partial Ypartial r = partial wpartial r tan^-1(u v) + w cdot partialpartial r tan^-1(u v) :
partial wpartial r = 1
Sabemos que:
partialpartial r tan^-1(u v) = 11 + (u v)^2 cdot ( v cdot partial upartial r + u cdot partial vpartial r )
partial upartial r = 1 e partial vpartial r = 0
Como partialpartial r tan^-1(u v) = v1 + (u v)^2 e partial Ypartial r = tan^-1(u v) + w v1 + (u v)^2 , temos:
Então:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular partial Ypartial s = partial wpartial s tan^-1(u v) + w cdot partialpartial s tan^-1(u v) :
partial wpartial s = 0
Como partialpartial s tan^-1(u v) = 11 + (u v)^2 cdot ( v cdot partial upartial s + u cdot partial vpartial s ) , temos:
partial upartial s = 1 e partial vpartial s = 1
E:
partialpartial s tan^-1(u v) = v + u1 + (u v)^2
Sabemos que:
partial Ypartial s = w (v + u)1 + (u v)^2
Então:
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular partial Ypartial t = partial wpartial t tan^-1(u v) + w cdot partialpartial t tan^-1(u v) :
partial wpartial t = 1
Como partialpartial t tan^-1(u v) = 11 + (u v)^2 cdot ( v cdot partial upartial t + u cdot partial vpartial t ) , temos:
partial upartial t = 0 e partial vpartial t = 1
E:
partialpartial t tan^-1(u v) = u1 + (u v)^2
Sabemos que:
partial Ypartial t = tan^-1(u v) + w u1 + (u v)^2
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores u = r + s = 1 + 0 = 1 , v = s + t = 0 + 1 = 1 e w = t + r = 1 + 1 = 2 nas expressões que encontramos:
Primeiro, calculemos partial Ypartial r = pi4 + 2 times 11 + 1^2 = pi4 + 22 = pi4 + 1 , partial Ypartial s = 2 (1 + 1)1 + 1^2 = 2 times 22 = 2 e partial Ypartial t = pi4 + 2 times 11 + 1^2 = pi4 + 22 = pi4 + 1 :
Agora, , então (sabendo que ).
Substituindo na derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :
E para a derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em partial Ypartial r = pi4 + 1 , partial Ypartial s = 2 e partial Ypartial t = pi4 + 1 são:

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