;
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, quando
,
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as variáveis e como elas se relacionam:
Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
Vamos calcular
:
Sabemos que:
Como
e
, temos:
Então:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular
:
Como
, temos:
E:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular
:
Como
, temos:
E:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões que encontramos:
Primeiro, calculemos
,
e
:
Agora,
, então
(sabendo que
).
Substituindo na derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
E para a derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais avaliadas em
,
e
são: