Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
. Lembre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de Laplace das funções hiperbólicas seno e cosseno, ou seja, e . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada de Laplace é linear, ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a transformada de Laplace de . Sabemos que:
A transformada de Laplace de é e de é . Então, aplicando a linearidade:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabendo que:
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 5

Agora que temos as duas transformadas individuais, vamos somá-las para encontrar a transformada de Laplace de :
Simplificando a fração:
Isso porque .

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Calcular pela definição o valor de se
; quando
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Em cada uns dos exercícios encontre a função em que sua tranformada de Laplace é:
.