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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 90

5.90 Considere que o filme líquido no Exemplo 5.9 não é isotérmico, mas possui a seguinte distribuição:

T y = T 0 + T w - T 0 1 - y h

Em que T 0 e T w são, respectivamente, a temperatura ambiente e a temperatura da parade. A viscosidade do fluido descresce com o aumento da temperatura e é considerado descito por

μ = μ 0 1 + α T - T 0

Com α > 0 . De forma similar ao Exemplo 5.9. deduza uma expressão para o perfil de velocidade.

Passo 1

De forma similar ao Exemplo 5.9, a componente x da equação da quatidade de movimento pode ser simplificada para:

d τ y x d y = - ρ g   s e n   θ

Integrando:

τ y x = - ρ g y   s e n   θ + C 1

Usando a condição de contorno τ y x y = h = 0 ,

C 1 = ρ g h   s e n   θ

Então:

τ y x = - ρ g y   s e n   θ + ρ g h   s e n   θ

τ y x = ρ g ( h - y )   s e n   θ

Passo 2

Sabemos também que:

τ y x = μ d u d y

Então:

μ d u d y = ρ g h - y s e n   θ

Substituindo μ = μ 0 1 + α T - T 0 e T y = T 0 + T w - T 0 1 - y h

μ 0 1 + α T 0 + T w - T 0 1 - y h - T 0 d u d y = ρ g h - y s e n   θ

d u d y = ρ g h - y s e n   θ μ 0 1 + α T 0 + T w - T 0 1 - y h - T 0

Integrando, ficamos com:

u = ρ g h   s e n   θ μ 0 y 1 - y 2 h + a T w - T 0 y 1 - y h + y 2 3 h 2

Resposta

u = ρ g h   s e n   θ μ 0 y 1 - y 2 h + a T w - T 0 y 1 - y h + y 2 3 h 2

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