5.17 Deduza a forma diferencial da conservação da massa em coordenadas retangulares por expansão em série de taylor em torno do ponto O dos produtos da massa específica pelas componentes da velocidade: ρ u , ρ v e ρ w . Mostre que o resultado é idêntico à Eq. 5.1a.

Passo 1

Tomando o seguinte volume de controle

Na direção x, o fluxo de massa pode ser representado por:

m ˙ x = ρ u   d A

m ˙ x = ρ u   d y d z

Na face direita (saindo do VC):

m ˙ x + d x 2 = ρ u + ∂ ρ u ∂ x d x 2 d y d z

Na face esquerda (entrando no VC):

m ˙ x - d x 2 = ρ u + ∂ ρ u ∂ x - d x 2 d y d z

O fluxo na direção x, então vai ser:

m ˙ x = m ˙ x + d x 2 - m ˙ x - d x 2

m ˙ x = ρ u + ∂ ρ u ∂ x d x 2 d y d z - ρ u + ∂ ρ u ∂ x - d x 2 d y d z

m ˙ x = ∂ ρ u ∂ x d x d y d z

Passo 2

De forma bem similar encontramos para direção y e direção z, respectivamente:

m ˙ y = ∂ ρ v ∂ y d x d y d z

m ˙ z = ∂ ρ w ∂ z d x d y d z

A taxa de acúmulo de massa no VC é:

d m d t = ∂ ρ ∂ t d x d y d z

Passo 3

Para ter o fluxo total:

m ˙ x + m ˙ y + m ˙ z + d m d t = 0

∂ ρ u ∂ x d x d y d z + ∂ ρ v ∂ y d x d y d z + ∂ ρ w ∂ z d x d y d z + ∂ ρ ∂ t d x d y d z = 0

Dividindo por d x d y d z :

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

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