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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 92

5.92 Um perfil de velocidade liner foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite incompressível no Problema 5.10. Expresse a rotação de uma partícula fluida. Localize a taxa máxima de rotação. Expresse a taxa de deformação angular de uma partícula fluida. Localize a taxa máxima de deformação angular. Expresse as taxas de deformação linear de uma partícula fluida. Localize as taxas máximas de deformação linerar. Expresse a força de cisalhamento por unidade de volume na direção x. Localize a força de cisalhamento máxima por unidade de volume; interprete este resultado.

Passo 1

Vamos primeiro pegar os dados do outro problema:

u = U y δ

δ = c x 1 2

v = u y 4 x

Então:

u = U y c x 1 2

v = U y 2 4 c x 3 2

Passo 2

Da definição de rotação:

ω → = 1 2 ∇ × V →

Como:

∇ = i ^ ∂ / ∂ x + j ^ ∂ / ∂ y + k ^ ∂ / ∂ z

E V → = U y c x 1 2 i ^ + U y 2 4 c x 3 2 j ^ ,

ω → = 1 2 i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z U y c x 1 2 U y 2 4 c x 3 2 0

ω → = 1 2 ∂ U y 2 4 c x 3 2 ∂ x k ^ - ∂ U y c x 1 2 ∂ y k ^

ω → = 1 2 - 3 2 U y 2 4 c x 5 2 - U 1 c x 1 2 k ^

ω → = - 1 2 U 1 c x 1 2 3 8 U y 2 x 2 + 1 k ^

Passo 3

A deformação angular é:

d e f a n g = ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y

d e f a n g = ∂ U y 2 4 c x 3 2 ∂ x + ∂ U y c x 1 2 ∂ y

d e f a n g = - 3 8 U y 2 c x 5 2 + U 1 c x 1 2

d e f a n g = U 1 c x 1 2 1 - 3 8 U y 2 x 2

Passo 4

A deformação linear em x é:

d e f l i n x = ∂ u ∂ x

d e f l i n x = ∂ U y c x 1 2 ∂ x

d e f l i n x = - 1 2   U y c x 3 2

A deformação linear em y é:

d e f l i n y = ∂ v ∂ y

d e f l i n y = ∂ U y 2 4 c x 3 2 ∂ y

d e f l i n y =   U y 2 c x 3 2

Resposta

ω → = - 1 2 U 1 c x 1 2 3 8 U y 2 x 2 + 1 k ^

d e f a n g = U 1 c x 1 2 1 - 3 8 U y 2 x 2

d e f l i n x = - 1 2   U y c x 3 2

d e f l i n y =   U y 2 c x 3 2

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